高中数学专题2.3 变量间的相关关系-2018-2019学年人教版高一数学基础知识梳理（必修3）（解析版）

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2.3 变量间的相关关系
【知识点总结】
1.变量之间的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用【解析】式
表示；另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用【解析】式来表达．
2.散点图
将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫
做散点图．
3.正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相
关．
4.负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相
关．
5.线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，
这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程。
6.回归直线方程
①回归直线方程
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(
x
1，
y
1)，(
x
2，
y
2)，…，(
xn
，
yn
)，则所
求回归方程是y＝b
x
＋a，其中b是回归方程的斜率，a是截距．
其中
②最小二乘法
通过求
Q
＝(
y
1－
bx
1－
a
)2＋(
y
2－
bx
2－
a
)2＋…＋(
yn
－
bxn
－
a
)2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样
本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
【题型总结】
题型一 基本概念的理解
【例 1】下列关系中，属于相关关系的是________．
①人的身高与视力的关系；
②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；
③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
1
[解答]　
题号 判断 原因分析
① 不是相关关系 身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有相关关系
题号 判断 原因分析
② 不是相关关系 自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具有相关关系
③ 相关关系 降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性的关系
【答案】：③
【变式 1】在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
解：两变量之间的关系有三种：函数关系、相关关系和不相关．
①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．
②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．
③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发
生明显变化了，因而他们不具备相关关系．
【变式 2】下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)
A．瑞雪兆丰年
B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【解析】：选 D　选项 A，B，C 中描述的变量间都具有相关关系，而选项 D 是迷信说法，没有科学依据．
【例 2】下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.74 13.6913.33 12.84 13.05
年降雨量(mm)748542 507 813 574701 432
[解答]　以
x
轴为年平均气温，
y
轴为年降雨量，可得相应的散点图，如图所示：
2
因为图中各点并不在一条直线附近，所以两者不具有相关关系，求回归直线方程也是没有意义的．
【变式 3】对变量
x
，
y
有观测数据(
xi
，
yi
)(
i
＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量
u
，
v
有观测数据
(
ui
，
vi
)(
i
＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量
x
与
y
正相关，
u
与
v
正相关
B．变量
x
与
y
正相关，
u
与
v
负相关
C．变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
正相关
D．变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
负相关
【解析】：选 C　在从散点图来看，图①中的点自左上方向右下方分布，说明变量
x
与
y
负相关；图②中
的点自左下方向右上方分布，说明
u
与
v
正相关.
【变式 4】某种产品的广告费支出
x
与销售额
y
之间有如下对应数据(单位：百万元)：
x
24568
y
30406050 70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
解：(1)以
x
对应的数据为横坐标，以
y
对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额
也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即
x
与
y
成正相关关系．
题型二 回归方程的理解
【例 1】下列有关回归方程y＝b
x
＋a的叙述正确的是(　　)
①反映y与
x
之间的函数关系；
②反映
y
与
x
之间的函数关系；
③表示y与
x
之间的不确定关系；
④表示最接近
y
与
x
之间真实关系的一条直线．
A．①② B．②③
3
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