高中数学专题02 指数函数与对数函数的概念与简单性质（知识点串讲）解析版2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（人教A版）（串讲篇）

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专题 02 指数函数与对数函数的概念、简单性质（知识点串讲）

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重难点突破

知识点一指数运算、对数运算与幂运算

1、指数与指数运算

(1). ；

(2).

(3).正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)

(4).负分数指数幂：规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)

(5).幂的运算性质

(1)aras＝a r

＋

(a>0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝a rs

(a>0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝a r

b r

(a>0，b>0，r∈R)．

2、对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：① alogaN＝N；② logaab＝b(a>0，且 a≠1).

(2)对数的运算法则：如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且 m≠0).

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于 1).

例 1.（成都市 2019-2020 学年高一上学期期末调研考试）计算的值为（）

A. B. C. D.

【答案】 C

【解析】

，∴ ，

故选 C．

【变式训练 1-1】、（）

A． B． C． D．

【答案】 D．

【解析】，故选 D．

【变式训练 1-2】、（1）计算： .

（2）化简： .

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）原式 .

（2）原式 .

知识点二指数函数与对数函数的概念及图像

3、指数函数及其性质

(1)概念：函数 y＝ax(a>0 且a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图象

定义域 R

值域 (0，＋∞)

性质过定点(0，1)，即 x＝0时，y＝1

当x>0 时，y>1；

当x<0 时，0<y<1

当x<0 时，y>1；

当x>0 时，0<y<1

在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数

4、对数函数及其性质

(1)概念：函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x>1 时，y>0；

当0<x<1 时，y<0

当x>1 时，y<0；

当0<x<1 时，y>0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

例 2.（成都市 2019-2020 学年高一上学期期末调研考试）已知函数（，且）的图

象恒过定点 .若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（）

【答案】 A．

【解析】

∵ ，则，设，则，解得，则，故选 A.

【变式训练 2-1】、已知变量，满足关系式且，且，变量，满

足

关系式．

（1）求关于的函数表达式；

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