高中数学专题1.3 基本案例-2018-2019学年人教版高一数学基础知识梳理（必修3）（原卷版）

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1.3 算法案例
案例一 辗转相除法
1.辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法. 它的算法思
想是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数
对，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
2.辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数
m
，
n
.
第二步，计算
m
除以
n
所得的余数
r
.
第三步，
m
＝
n
，
n
＝
r
.
第四步，若
r
＝0，则
m
，
n
的最大公约数等于
m
；
否则，返回第二步 .
【例 1】试用辗转相除法求 325,130,270 的最大公约数.
【例 2】运行下面的程序，当输入 168,72 时，输出的结果是(　　)
INPUT　m，n
DO
　r＝m MOD n
　m＝n
1
　n＝r
LOOP UNTIL　r＝0
PRINT　m
END
A.12 B.24
C.36 D.72
【变式 1】用辗转相除法求 204 与 85 的最大公约数时，需要做除法的次数是 .
【变式 2】用辗转相除法求三个数 72,120,168 的最大公约数.
案例二 更相减损术
1.更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．它的算
法思想是任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用 2 约简；若不是，以较大的数减去较小
的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这
个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
2.运算步骤
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数 . 若是，用 2
约简；若不是，执行第二步 .
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，
直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
3.程序框图与算法语句
2
【例 1】试用更相减损术求 612,396 的最大公约数.
【例 2】如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该
程序框图，若输入的
a
，
b
分别为 8，12，则输出的
a
＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．14
【变式 1】用更相减损术求 261 和 319 的最大公约数.
【变式 2】用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
案例三 秦九韶算法
1.秦九韶简介：1208 年－1261 年，南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道
古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼
州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247 年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余
方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值
求法）是有世界意义的重要贡献，求解一元高次多项式方程的数值解的算法-正负开方术，即开高次方和
解高次方程，领先英国霍纳（1819 年）五百余年。秦九韶纪念馆位于安岳县圆觉洞内，馆内建有九韶故里
和天文台等景点。
3
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