高中数学专题1.1 算法与程序框图-2018-2019学年人教版高一数学基础知识梳理（必修3）（解析版）

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1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
知识点一　算法的概念
12 世纪的算法 是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法 通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法 通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
【思考】　解决一个问题的算法是唯一的吗？
【解答】　不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之
分.
【例 1】两个大人和两名儿童一起渡河，渡口只有一条小船，一次只能渡过一个大人或两名儿童，他们四
人都会划船，但都不会游泳.请你帮他们设计一个最快捷的渡河方案.
【解答】第一步：两个小孩同船渡过河去；
第二步：一个小孩划船回来；
第三步：一个大人独自划船渡过河去；
第四步：对岸的小孩划船回来；
第五步：两个小孩再同船渡过河去；
第六步：一个小孩划船回来；
第七步：余下的一个大人独自划船渡过河去；
第八步：对岸的小孩划船回来；
第九步：两个小孩再同船渡过河去.
简单地说，算法就是解决问题的程序或步骤.
【变式 1】一位商人有 9 枚金币，其中有一枚略轻的假币，你能用天平（无砝码）将假币找出来吗？写出
解决这一问题的算法.
【解答】第一步：把 9 枚金币平均分成三组，每组三枚.
第二步：先将其中的两组放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假金币就在轻的那一组；如果天平左右
平衡，则假金币就在未称量的那一组里.
第三步：取出含假币的那一组，从中任取两枚金币放在天平两边进行称量，如果天平不平衡，则假金币在
轻的那一边；若平衡，则未称的那一枚就是假币.
知识点二　算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.
(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，
才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列 .
(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题.
(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.
1
特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.
【例 2】下列关于算法的说法，正确的个数有(　　)
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1 B.2
C.3 D.4
【解答】　C
　由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.
【变式 2】　下列说法中是算法的有________.(填序号)
①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为 1；
③求以
A
(1,1)，
B
(－1，－2)两点为端点的线段
AB
的中垂线方程，可先求出
AB
的中点坐标，再求
kAB
及中
垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段
AB
的中垂线方程；
④求 1×2×3×4 的值，先计算 1×2＝2，再计算 2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为 24；
⑤
x
＞2
x
＋4.
【解答】　①②③④
①说明了从上海到拉萨的行程安排；
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法；
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤；
④给出了求 1×2×3×4 的值的过程并得出结果.
故①②③④都是算法.
知识点三　算法的设计
梳理　(1)设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程
分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的
目的.
(2)设计算法的要求
①写出的算法必须能解决一类问题.
②要使算法尽量简单、步骤尽量少.
③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.
【例 3】写出解二元一次方程组的算法.
【解答】　加减消元法或代入消元法
第一步，①＋2×② 得7
x
＝1. ③
第二步，解③得
x
＝.
第三步，②×3－①×2 得 7
y
＝5. ④
第四步，解④得
y
＝.
第五步，得到方程组的解为
【变式 3】设计一个算法，判断 7是否为质数.
【解答】算法分析：
（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用 2～6 除 7，如果它们中有一个能整除 7，则 7不是质数，否
则7是质数.
2
根据以上分析，可写出如下算法：
第一步：用 2 除 7，得到余数 1,所以 2 不能整除 7.
第二步：用 3 除 7，得到余数 1,所以 3 不能整除 7.
第三步：用 4 除 7，得到余数 3,所以 4 不能整除 7.
第四步：用 5 除 7，得到余数 2,所以 5 不能整除 7.
第五步：用 6 除 7，得到余数 1,所以6不能整除 7.
因此，7是质数.
【例 4】一个算法步骤如下：
第一步，
S
取值 0，
i
取值1.
第二步，若
i
≤9，则执行第三步；否则，执行第六步.
第三步，计算
S
＋
i
并用结果代替
S
.
第四步，用
i
＋2 的值代替
i
.
第五步，转去执行第二步.
第六步，输出
S
.
运行以上算法，则输出的结果
S
等于(　　)
A.16 B.25
C.36 D.以上均不对
答案　B
【解答】　解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求
S
＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
【变式 4】给出下列算法：
第一步，输入
x
的值.
第二步，当
x
＞4时，计算
y
＝
x
＋2；否则执行下一步.
第三步，计算
y
＝.
第四步，输出
y
.
当输入
x
＝0 时，输出
y
＝________.
【解答】　0＜4，执行第三步，
y
＝＝2.
【课堂练习】
1.下面是求 15 和 18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________.
第一步，先将 15 分解素因数：15＝3×5.
第二步，然后将 18分解素因数：18＝32×2.
第三步，确定它们的所有素因数：2,3,5.
第四步，计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.
【答案】　第四步
2.以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整.
第一步，①②两式相加得 3
x
＋9＝0.③
第二步，由③式可得________.④
第三步，将④式代入①式得
y
＝0.
第四步，输出方程组的解为________.
【答案】　
x
＝－3　
【解析】　该算法的流程实质是解二元一次方程组的过程，由消元法易得.
3.对于算法：
第一步，输入
n
.
3
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