高中数学专题1 平面向量的运算（知识点串讲）--2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（新教材·浙江）【原卷版】

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2020-2021 学年高一数学下学期期末考点大串讲（新教材·浙江）
专题 1 平面向量的运算
【知识网格】
【知识讲练】
知识点一 平面向量的概念
名称 定义 记法
零向量 长度为__0__的向量叫做零向量 0
单位向量 长度等于__1__个单位的向量，叫做单位向量
相等向量
__长度__相等且方向相同的向量叫做相等向量 __a ＝ b __
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条__有向线
段__来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两
个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量
平行
向量
方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量 __a ∥ b __
规定：零向量与任何向量都__平行__ 0∥a
说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直线__上，因
此，平行向量也叫__有线__向量
例1.（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：①向量 与 是相等向量；②共线的单位向量是相
等向量；③模为零的向量与任一向量共线；④两平行向量所在直线互相平行．其中不正确的是（ ）
1
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式训练 1-1】（2021·全国高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A． 与 共线， 与 共线，则 与 也共线
B．单位向量都相等
C．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
D．共线向量一定在同一直线上
【变式训练 1-2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若 ， 都是单位向量，则 ；
③若 ，则 或 ；
则所有正确命题的号是（ ）
A．③ B．① C．①③ D．①②
【方法技巧】
对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量 a，都有
0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．
(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面
上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．
(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．
例2
知识点二 平面向量的加法
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量 a、b，在平面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量　 AC
叫做向量 a与b的和，记作 a＋b.这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则．
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D三点不共线，
以AB、AD为邻边作平行四边形 ABCD，则向量　 AC 　 ＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的
平行四边形法则．
2．向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.
2
3．向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
例2.（2021·全国高一课时练习）如图，已知点 、 、 分别是 三边 、 、 的中点，
求证： .
【变式训练 2-1】（2021·全国高一课时练习） __.
【变式训练 2-2】（2021·全国高一课时练习）作五边形 ，求作下列各题中的和向量：
（1） ；
（2） .
【方法技巧】
平面向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起
点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
知识点三 平面向量的减法
1．相反向量
定义 如果两个向量长度__相等__，而方向__相反__那么称这两个向量是
相反向量
性质
①对于相反向量有：a＋(－a)＝　 0 　
②若 a、b互为相反向量，则 a＝　－ b 　 ，a＋b＝　 0 　
③零向量的相反向量仍是零向量
2．向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__
作法 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则向量 a－b＝　 BA 　 .如图所示
3
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