高中数学人教版高一数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算教案

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2.1.1 指数与指数幂的运算
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解分数指数幂的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；
　（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂概念的理解
（三）教学方法
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由
特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内 .由此让学生体会
发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图
提出
问题
回顾初中时的整数指数幂及运算性质.
0
, 1 ( 0)
n
a a a a a a a   
0
0无意义
1( 0)
n
n
a a
a
 
; ( )
m n m n m n mn
a a a a a
 
( ) , ( )
n m mn n n n
a a ab a b 
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
老师提问，学生回答.学 习 新 知
前 的 简 单
复 习 ， 不
仅 能 唤 起
学 生 的 记
忆 ， 而 且
为 学 习 新
课 作 好 了
知 识 上 的
准备.
复习
引入
观察以下式子，并总结出规律：
a
＞0
老师引导学生“当根式
的被开方数的指数能被根
数 学
中 引 进 一
1
8
8 4 2 4 2
( )a a a a  
小结：当根式的被开方数的指数能
被根指数整除时，根式可以写成分数作
为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除
时，根式是否也可以写成分数指数幂的
形式.如：
2
3 2 3( 0)a a a  
1
2
( 0)b b b  
5
5
44
( 0)c c c  
即 ：
*
( 0, , 1)
m
n m n
a a a n N n  
指数整除时，根式可以写
成分数作为指数的形式，
（分数指数幂形式） ”联
想“根式的被开方数不能
被根指数整除时，根式是
否也可以写成分数指数幂
的形式.”.从而推广到正数
的分数指数幂的意义.
个 新 的 概
念 或 法 则
时 ， 总 希
望 它 与 已
有 的 概 念
或 法 则 是
相容的.
形成
概念
为此，我们规定正数的分数指数幂
的 意 义 为 ：
*
( 0, , )
m
n m
n
a a a m n N  
正数的负分数指数幂的意义与负整
数幂的意义相同.
即：
*
1( 0, , )
m
n
m
n
a a m n N
a

学生计算、构造、猜想，
允许交流讨论，汇报结
论．教师巡视指导．
让学生
经 历 从
“ 特 殊 一
一 般 ” ，
“ 归 纳 一
猜 想 ” ，
是 培 养 学
生 “ 合 情
2
规定：0的正分数指数幂等于 0，0
的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式
与分数指数幂是可以互换的，分数指数
幂只是根式的一种新的写法，而不是
1 1 1
( 0)
n
m m m m
a a a a a  
推 理 ” 能
力 的 有 效
方 式 ， 同
时 学 生 也
经 历 了 指
数 幂 的 再
发 现 过
程 ， 有 利
于 培 养 学
生 的 创 造
能力．
深化
概念
由于整数指数幂，分数指数幂都有
意 义 ， 因 此 ，有 理 数 指 数 幂 是 有意 义
的，整数指数幂的运算性质，可以推广
到有理数指数幂，即：
（1）
( 0, , )
r s r s
a a a a r s Q
 
（2）
( ) ( 0, , )
r S rs
a a a r s Q  
（3）
( ) ( 0, 0, )
r r r
a b a b Q b r Q 
若
a
＞0，P是一个无理数，则 P该
如何理解？为了解决这个问题，引导学
生先阅读课本 P57——P58.
即：
2
的不足近似值，从由小于
2
的方向逼近
2
，
2
的过剩近似值
从大于
2
的方向逼近
2
.
让学生讨论、研究 ，
教师引导．
通 过 本 环
节 的 教
学 ， 进 一
步 体 会 上
一 环 节 的
设 计 意
图．
3
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