高一数学专题04 二次函数与一元二次不等式（重难点突破）（解析版）

3.0 envi 2025-04-14 11 4 838KB 13 页 3知币

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专题 04 二次函数与一元二次不等式

一、考情分析

二、经验分享

【知识点 1 一元二次不等式的概念及形式】

(1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式．

(2).形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

【知识点 2 一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】

(1).一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的 x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合

叫做这个一元二次不等式的解集.

(2.)关于 x的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；

若二次函数为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的解集，就是分别使二次函数 f(x)

的函数值为正值或负值时自变量 x的取值的集合．

(3).三个“二次”之间的关系：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式 Δ＝b2－4ac

判别式 Δ

＝b2－4ac

Δ>0 Δ＝0Δ<0

解不等式

f(x)>0

或f(x)<

0的步骤

求方程 f(x)＝0的解

有两个不等的实数

解x1，x2

有两个相等的实数

解x1＝x2

没有实数解

画函数 y＝f(x)的示

意图

得不

等式

的解

集

f(x)>0

{x|x<x1

或x>x2}

{x|x≠－}R

f(x)<0 {x|x1<x<x2}∅ ∅

【知识点 3 分式不等式的解法】

①>0 与(x＋1)(x＋3)>0 等价吗？

②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0 等价吗？

定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于 x的多项式的不等式称为分式不等式.

解法：等价转化法解分式不等式

>0⇔f(x)g(x)>0，<0⇔f(x)·g(x)<0.

≥0⇔

⇔f(x)·g(x)>0 或.

≤0⇔⇔f(x)·g(x)<0 或

【知识点 4、简单的高次不等式的解法】

(1)由函数与方程的关系可知 y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当

x>2,1<x<2，x<1 不同情形下，y值的符号变化情况．

(2)考查函数 y＝(x－1)2(x＋3)，当 x<－3，－3<x<1，x>1 时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？

高次不等式：不等式最高次项的次数高于 2，这样的不等式称为高次不等式.

解法：穿根法

①将 f(x)最高次项系数化为正数；

②将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方

根穿而不过，奇次方根穿过)；

④观察曲线显现出的 f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．

三、题型分析

(一) 一元二次不等式的解法

例1．（1）（2020·吉林省实验高一期中）不等式的解集为（）

A．或 B．或

C．D．

【答案】A

【解析】由题：等式化简为：

解得：或 .故选：A

（2）．.

【解析】原不等式可化为，因为恒成立，

所以原不等式无解，即原不等式的解集为 .

（3）．（3）；

【解析】原不等式可化为，因为恒成立，

所以原不等式的解集为 .

【变式训练 1】．求下列不等式的解集.

（1）；（2）；

（3）；（4）；

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