高一数学下学期专题1.2三角函数【知识梳理】解析版

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专题 1.2 三角函数【知识梳理】

1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数，的图象中，五个关键点是：

2、正弦函数的图像：

把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，

就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：

（2）值域：；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以，即

1sin1  x

，也就是说，正弦函数的值域是

奎屯

王新敞

新疆

亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数

由可知：为奇函数，正弦曲线关于原点对称

（4）单调递增区间：；

（5）单调递减区间：；

（6）对称中心：（）；

（7）对称轴：

（8）最值：当且仅当取最大值；

当且仅当取最小值。

（9）最小正周期：

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有

，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期

奎屯

王新敞

新疆

由此可知都是这两个函数的周期

奎屯

王新敞

新疆

对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做

的最小正周期

奎屯

王新敞

新疆

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小

正周期是

奎屯

王新敞

新疆

注意：

1.周期函数定义域，则必有 , 且若，则定义域无上界；则定义域无下

界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数;

3. 往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做

的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

5、余弦函数的图像：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）奇偶性：偶函数

（4）单调递增区间：，

（5）单调递减区间：

（6）对称中心：（）

（7）对称轴：

（8）最值：当且仅当取最大值

max y

；

当且仅当取最小值。

（9）最小正周期：；

6. 函数

 



 xAy sin

的实际意义；

7. 函数

 



 xAy sin

图像的变换（平移变换和伸缩变换）.

一般的，函数（其中）的图像可由“五点法”或图像变换法得到．

（1）“五点法”：先求出当为时相对应的值，其次分别求出对应的值，再列表、描点、连线，最后根据

函数的周期性，将图像向左、右无限扩展，即可得在上图像．

（2）图像变换法：一般可按下述步骤进行：

①振幅变换：当时，图像上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当时，图像上各点的纵坐标缩

短到原来的倍（横坐标不变）．

②平移变换：当时，图像上所有点向左平移个单位；当时，图像上所有点向右平移个单位．

③周期变换：当时，图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）；当时，图像上各点的横坐标伸

长为原来的倍（纵坐标不变）．

8、正切函数的图像：

可选择











2



的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函

数的图像

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，

且的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：，

（2）值域：

观察：当从小于

 

zkk  2



，



 kx

时，

当从大于

 

zkk 



，



kx  2

时， .

（3）周期性：

（4）奇偶性：，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.

（6）中心对称点：















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