高一数学下学期期末专项复习专题03 解三角形【知识梳理】（解析版）

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专题 03 解三角形【知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R
a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos __A；
b2＝c 2
＋ a 2
－ 2 ca cos __B；
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos __C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2 R sin __B，c＝
2 R sin __C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A ∶ sin __B ∶ sin __C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C
＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算
R，r.
3.在△ABC 中，已知 a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直
角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
【例题 1】在 中， 分别是内角 的对边， ， ，当内角
最大时， 的面积为（ ）
1
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
已知等式利用正弦定理化简得： ，
两边平方得： ，即 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，
则 的最小值为 ，此时 C最大，且 ，
则 的面积 ，
【例题 2】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
，且 ， ，则 （ ）
A．1 B．C．1或D．
【答案】C
2
【详解】
∵ ，
∴ ．
①当 时， 为直角三角形，且 ．
∵ ， ，
∴ ．
②当 时，则有 ，
由正弦定理得 ．
由余弦定理得 ，
即 ，
解得 ．
综上可得， 1或
【跟踪训练 1】在 中， ，且 的面积为 ，则 外接圆的半径为（　
）
A．B．C．2 D．4
【答案】C
【详解】
由题意， ，解得 ，
3
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