高一数学下学期期末专项复习专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】（解析版）

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专题 02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】
一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影
1、(1)定义：已知两个非零向量 a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB
称作向量 a和向量 b的
夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0 ， π] ，且〈 a
，
b 〉 ＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则 a与b垂直，记作 a
⊥
b .
2、已知向量 a和轴 l(如图)，作OA＝a，过点 O，A分别作轴 l的垂线， 垂
足分别为 O1，A1，则向量 O1A1 叫做向量 a在轴 l上的正射影(简称射影)，该射影在轴 l上的坐
标，称作 a在轴 l上的数量或在轴 l的方向上的数量.
OA＝a在轴 l上正射影的坐标记作 al，向量 a的方向与轴 l的正向所成的角为 θ，则由三角函
数中的余弦定义有 al＝| a |cos __θ.
【例题 1】已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意可得 ，
，
故 在 方向上的投影为 .
【例题 2】已知非零 在非零 方向上的投影是 m，m∈R，下列说法正确的是（ ）
A． 在 方向上的投影一定是 m
B． 在 方向上的投影一定是 km
1
C． 在 方向上的投影一定是 km
D． 在 方向上的投影一定 m
【答案】D
【详解】
解：∵ 在 方向上的投影是 m，
∴ ，
∵ ，k≠0， ，
∴ 在 (k≠0)方向上的投影为 ，当 k>0 时， 在 k方向上的投影为 m.
故选：D.
【跟踪训练 1】 ， ，向量 与 向量的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影等于（
）
A．B．C．2 D．
【答案】D
【详解】
向量 在向量 方向上的投影为 .
【跟踪训练 2】 向量 的模为 10，它与向量 的夹角为 ，则它在 方向上的投影为（ ）
A．5 B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意所求投影的模为 ．
2
【跟踪训练 3】 已知单位向量 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
，所以
解得
向量 在向量 方向上的投影为
故选：A.
二.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a和b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量 a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos θ＝＝.
④两非零向量 a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
【例题 1】四边形 中， ，则 （ ）
A．B．C．D．
3
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