高一数学培优对点题组专题突破专题20 幂函数-培优对点题组专题突破（解析版）

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专题 20 幂函数

题组 1幂函数的概念

1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1），上述函数中幂函数的个数

为（　　）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七

个函数中，是幂函数的是 y＝x2和y＝x，故选 C.

2.幂函数 f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且 f（－x）＝f（x），则 m等于（　　）

A.0 B.1 C.2 D.0 或1

【答案】B

【解析】因为 f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以 3m－5<0，故 m< .

又因为 m∈N，所以 m＝0或m＝1，

当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；

当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.

综上知，m＝1.

3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数 y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数 m等于（　　）

A. B.－1 C.2 或－1 D.2

【答案】D

【解析】因当 x∈（0，＋∞）时，幂函数 y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，

所以 m2－m－1＝1，且－m－1＜0，

解得 m＝2或－1，且 m＞－1，

即m＝2.

故选 D.

题组 2求幂函数的解析式

4.已知点（，）在幂函数 y＝f（x）的图象上，则 f（x）的表达式是（　　）

A.f（x）＝3x B.f（x）＝x3 C.f（x）＝x－2 D.f（x）＝（）x

【答案】B

【解析】幂函数 f（x）＝xα 的图象过点（，），

所以＝（）α，解得 α＝3，所以幂函数为 f（x）＝x3，

故选 B.

5.已知幂函数 y＝f（x）的图象经过点（16，4），则 f（）的值为（　　）

A.3 B. C. D.

【答案】C

【解析】∵幂函数 y＝f（x）＝xα 的图象经过点（16，4），

∴16α＝4，解得 α＝，

∴f（x）＝，

∴f（）＝＝ .

故选 C.

题组 3 幂函数的定义域和值域

6.若函数 f（x）＝，则函数 y＝f（4x－3）的定义域是（　　）

A.（－∞，＋∞） B.（－∞，） C.[ ，＋∞） D.（，＋∞）

【答案】D

【解析】幂函数 f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数 y＝f（4x－3）的

定义域是（，＋∞）.

7.有四个幂函数：① f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④ f（x）＝ .

某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：

（1）定义域是{x|x∈R，且 x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且 y≠0}.

如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（　　）

A.① B.② C.③ D.④

【答案】A

【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且 x≠0}；

（2）值域是{y|y∈R，且 y≠0}.

对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且 x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且 y≠0}.

对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且 x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且 y≠0}.

对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且 x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且 y≠0}.

故选 A.

题组 4比较幂值的大小

8.下列关系中正确的是（　　）

A. < < B. < < C. < < D. < <

【答案】D

【解析】由于幂函数 y＝在（0，＋∞）上递增，因此 <，又指数函数 y＝（）x在（0，

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