高一数学培优对点题组专题突破专题19 函数的单调性、奇偶性、最值问题-培优对点题组专题突破（解析版）

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专题 18 函数的单调性、奇偶性、最值问题

1.已知奇函数 f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式 >0 对任意两个不相等的正

实数 x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（　　）

A.f（－5）>f（3）

B.f（－5）<f（3）

C.f（－3）>f（－5）

D.f（－3）<f（－5）

【答案】C

【解析】设 0<x1<x2，则 x1－x2<0，

由>0，得 f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）<f（x2），

∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数，

∴由－3>－5，可得 f（－3）>f（－5）.

2.设f（x）是 R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若 x1<0 且x1＋x2>0，则（　　）

A.f（－x1）>f（－x2）

B.f（－x1）＝f（－x2）

C.f（－x1）<f（－x2）

D.f（－x1）与 f（－x2）的大小不确定

【答案】A

【解析】∵x1<0，x1＋x2>0，

∴x2>－x1>0，

又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

∴f（x2）<f（－x1），

∵f（x）是偶函数，

∴f（－x2）＝f（x2）<f（－x1）.

3.已知函数 f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若 x，y满足等式 f（2x2－4x）＋f（y）＝

0，则 4x＋y的最大值是（　　）

A.10

B.－6

C.8

D.9

【答案】C

【解析】∵奇函数 f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（2x2－4x）＝－f（y）＝f（－y），

∴2x2－4x＝－y，

∴4x＋y＝4x－2x2＋4x＝－2（x－2）2＋8≤8，故选 C.

4.已知 f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程 f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若 a>0，则不等式

f（f（x））>x对一切 x∈R成立；②若 a<0，则必存在实数 x0使不等式 f（f（x0））>x0成立；③方程

f（f（x））＝x一定没有实数根；④若 a＋b＋c＝0，则不等式 f（f（x））<x对一切 x∈R成立.其中说法正

确的个数是（　　）

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】∵方程 f（x）＝x无实根，

∴f（x）－x>0 或f（x）－x<0.

∵a>0，∴f（x）－x>0 对一切 x∈R成立，

∴f（x）>x，用 f（x）代替 x，

∴f（f（x））>f（x）>x，

∴说法①正确；

同理若 a<0，则有 f（f（x））<x，

∴说法②错误；说法③正确；

∵a＋b＋c＝0，∴f（1）－1<0，

∴必然归为 a<0，有 f（f（x））<x，

∴说法④正确.故选 C.

填空

5.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.

（1）若 f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值 M，则 f（x）在[－b，－a]上有最________值________.

（2）若 f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值 M，则 f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值_

_______.

【答案】（1）小　－M　（2）小　－M＋4

【解析】（1）设 x[∈－b，－a]，则－x[∈a，b]，

∴f（－x）≤M且存在 x0[∈a，b]，使 f（x0）＝M.

∵f（x）为奇函数，∴－f（x）≤M，f（x）≥－M，

且存在－x0[∈－b，－a]，使 f（－x0）＝－M.

∴f（x）在[－b，－a]上有最小值－M.

（2）由（1）知，f（x）在[a，b]上有最大值 M－2时，

f（x）在[－b，－a]上有最小值－M＋2.

∴f（x）＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.

解答

6.设定义在（－1，1）上的奇函数 f（x）在[0，1）上单调递增，且有 f（1－m）＋f＜0，求实数 m的取值

范围.

【答案】由于函数 f（x）的定义域为（－1，1），

则有解得 0＜m＜.

又f（1－m）＋f＜0，

所以 f（1－m）＜－f.

而函数 f（x）为奇函数，

则有 f（1－m）＜f.

因为函数 f（x）是奇函数，且在[0，1）上单调递增，

所以函数 f（x）在定义域（－1，1）上单调递增，

则有 1－m＜2m－，解得 m＞，

故实数 m的取值范围为 .

7.已知定义在 R上的奇函数 f（x），当 x>0 时，f（x）＝－x2＋2x.

（1）求函数 f（x）在 R上的解析式；

（2）若函数 f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a的取值范围.

【答案】（1）设 x<0，则－x>0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，所以 f（－x）＝－f（x）.

于是当 x<0 时f（x）＝x2＋2x，

又因为 f（x）为奇函数，所以 f（0）＝0，

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