高一数学培优对点题组专题突破专题14 函数的单调性-培优对点题组专题突破（解析版）

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专题 14 函数的单调性

题组 1 函数的单调性的概念

1.如果函数 f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的 x1，x2[∈a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是

（　　）

A. >0

B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0

C.若x1<x2，则 f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b）

D. >0

【答案】C

【解析】因为 f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的 x1，x2[∈a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）

的符号相同，故 A，B，D都正确，而 C中应为若 x1<x2，则 f（a）≤f（x1）<f（x2）≤f（b）.

2.在下列函数 f（x）中，满足对任意 x1，x2∈（0，＋∞），当 x1<x2时，都有 f（x1）>f（x2）的是（　　）

A.f（x）＝x2

B.f（x）＝

C.f（x）＝|x|

D.f（x）＝2x＋1

【答案】B

3.下列说法中正确的有（　　）

①若 x1，x2∈I，当 x1<x2时，f（x1）<f（x2），则 y＝f（x）在 I上是增函数；

②函数 y＝x2在R上是增函数；

③函数 y＝－在定义域上是增函数；

④函数 y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

【答案】A

【解析】函数的单调性是指定义在区间 I上任意两个值 x1，x2，强调的是任意，①不对；② y＝x2，当 x≥0

时是增函数，当 x<0 时是减函数，从而 y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③ y＝－在整个定义域内不

是单调递增函数，如－3<5，而 f（－3）>f（5）；④ y＝的单调递减区间不是（－∞， 0）∪（0，＋

∞），而是（－∞，0）和（0，＋∞），注意写法.

4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（　　）

A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则 f（x）＋g（x）为增函数

B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则 f（x）＋g（x）为减函数

C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则 f（x）＋g（x）为增函数

D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则 f（x）－g（x）为减函数

【答案】C

【解析】∵若 f（x）为增函数，g（x）为减函数，则 f（x）＋g（x）的增减性不确定.

例如：f（x）＝x＋2为R上的增函数，当 g（x）＝－ x时，

则f（x）＋g（x）＝ x＋2为增函数；当 g（x）＝－3x，则 f（x）＋g（x）＝－2x＋2在R上为减函数，∴

不能确定.

5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f（x），则下列关于函数 f（x）的说法错误的是（　　）

A.函数在区间[－5，－3]上单调递增

B.函数在区间[1,4]上单调递增

C.函数在区间[－3,1] [4,5]∪上单调递减

D.函数在区间[－5,5]上没有单调性

【答案】C

【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，故选 C.

题组 2 函数的单调性的判定与证明

6.在下面的四个选项所给的区间中，函数 f（x）＝x2－1不是减函数的是（　　）

A.（－∞，－2）

B.（－2，－1）

C.（－1,1）

D.（－∞，0）

【答案】C

【解析】函数 f（x）＝x2－1为二次函数，单调减区间为（－∞，0]，而（－1,1）不是（－∞，0]的子集，

故选 C.

7.已知函数 f（x）在 R上是增函数，则下列说法正确的是（　　）

A.y＝－f（x）在 R上是减函数

B.y＝在 R上是减函数

C.y＝[f（x）]2在R上是增函数

D.y＝af（x）（a为实数）在 R上是增函数

【答案】A

【解析】设 x1<x2，因为函数 f（x）在 R上是增函数，故必有 f（x1）<f（x2）.

所以－f（x1）>－f（x2），A选项一定成立.

其余三项不一定成立，如当 f（x）＝x时，B、C不成立，当 a<0 时，D不成立.

8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（　　）

A.y＝

B.y＝

C.y＝x2

D.y＝x3

【答案】A

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