高一数学培优对点题组专题突破专题10 二次函数与一元二次方程、不等式-培优对点题组专题突破（解析版）

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专题 10 二次函数与一元二次方程、不等式

题组 1 一元二次不等式的解法

1.下列不等式中是一元二次不等式的是（　　）

A．a2x2＋2≥0

B．<3

C.－x2＋x－m≤0

D．x3－2x＋1>0

【答案】C

【解析】选项 A中，a2＝0时不符合；选项 B是分式不等式；选项 D中，最高次数为三次；只有选项 C符

合．故选 C.

2.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】首先展开，移项，合并同类项，分解因式可得－ ≤x≤1，故选 D.

3.不等式 3x2－7x＋2<0 的解集为（　　）

A．

B．

C．

D.{x|x>2}

【答案】A

【解析】3x2－7x＋2<0⇒（3x－1）（x－2）<0⇒<x<2.

4.解关于 x的不等式 x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．

【答案】原不等式可变形为（x－a）（x－a2）>0，

方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为 x1＝a，x2＝a2.

当a<0 时，有 a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当0<a<1 时，有 a>a2，∴x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a>1 时，有 a2>a，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当a＝0时，有 x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＝1时，有 x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．

综上可知，当 a<0 或a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．

5.已知 f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.

（1）若 a＝1，解不等式 f（x）≥1；

（2）若不等式 f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数 x恒成立，求实数 a的取值范围；

（3）若 a<0，解不等式 f（x）>1.

【答案】（1）根据题意，由于 x2＋x－1≥1，结合二次函数图象可知不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．

（2）（a＋2）x2＋4x＋a－1>0，a＝－2不符合；当 a≠－2时，由 a＋2>0 且Δ<0，得 a>2.故a>2.

（3）ax2＋x－a－1>0，即（x－1）（ax＋a＋1）>0.

因为 a<0，所以（x－1）<0，因为 1－＝，

所以当－ <a<0 时，1<－，解集为；

当a＝－时，（x－1）2<0，解集为；∅

当a<－时，1>－，解集为．

6.（1）已知当－1≤a≤1 时，不等式 ax2－（3a＋2）x＋6≤0 恒成立，求实数 x的取值范围．

（2）解关于 x的不等式 ax2－（3a＋2）x＋6≤0.

【答案】（1）原式可化为（x2－3x）a－2x＋6≤0，设 f（a）＝（x2－3x）a－2x＋6≤0，

则f（a）为关于 a的一次函数，由题意 ∴

解得 ∴x＝3.

（2）原不等式可化为（x－3）（ax－2）≤0.

那么由于 a＝0表示的为一次函数，a≠0 为二次函数，那么分为两大类，结合开口方向和根的大小和二次函

数图形可知，需要整体分为 a>0，a＝0，a<0 来求解，那么对于 a与的大小将会影响到根的大小，∴要将

a分为 0<a<和a＝以及 a>来得到结论，那么可知有：

当a<0 时，原不等式的解集为；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥3}；

当0<a<时，原不等式的解集为；

当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝3}；

当a>时，原不等式的解集为．

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