高一数学培优对点题组专题突破专题5 充要条件-培优对点题组专题突破（解析版）

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专题 5 充要条件

题组 1 充要条件的判断

1.设集合 A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x(∈A∪B)”是“x∈C”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，

∵A∪B＝C，∴x(∈A∪B)是x∈C的充要条件．

2.若实数 a，b满足 a≥0，b≥0，且 ab＝0，则称 a与b互补．记 φ(a，b)＝－a－b，那么 φ(a，b)＝0

是a与b互补的(　　)

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若 φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得 ab＝0，故具备充分性．若 a≥0，b≥0，ab＝0，则

不妨设 a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选 C.

3.方程 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　　)

A.0＜a≤1

B．a＜1

C．a≤1

D.0＜a≤1 或a＜0

【答案】C

【解析】方法一　(直接法)：当 a＝0时，x＝－，符合题意；当 a≠0 时，若方程两根一正一负(没有零根)，

解得 a＜0; 若方程两根均负，解得 0＜a≤1.

综上所述，充要条件是 a≤1.

方法二　(排除法)：当 a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除 A，D；当 a＝1时，原方程有两个相等的

负实根，可以排除 B.故选 C.

4．在下列三个结论中，正确的有（）

①x2>4 是x3<－8的必要不充分条件；

②在 ABC 中，AB2＋AC2＝BC2是ABC 为直角三角形的充要条件；

③若 a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为 0”的充要条件.

A．①② B．②③

C．①③ D．①②③

【答案】C

【解析】①，x2>4 即或，x3<－8即，因为或成立时，不一定成立，

所以 x2>4 是x3<－8的不充分条件；因为成立时，或一定成立，所以 x2>4 是x3<－8的

必要条件.即x2>4 是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.

②，AB2＋BC2＝AC2成立时， ABC 为直角三角形一定成立；当 ABC 为直角三角形成立时，AB2＋BC2＝

AC2不一定成立，所以在 ABC 中，AB2＋AC2＝BC2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命

题错误.

③,即判断“ ”是“a2＋b2=0”的什么条件，由于 a2＋b2=0 即，所以“

”是“a2＋b2=0”的充要条件，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为 0”的充要条件，所以该命题正确.

故选：C.

题组 2 寻求充要条件

5. 设集合 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若 A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0} ，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0} ，则点

P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　)

A.m＞－1，n＜5

B.m＜－1，n＜5

C.m＞－1，n＞5

D.m＜－1，n＞5

【答案】A

【解析】A∩(∁UB)满足

∵P(2,3)∈A∩(∁UB)，则 ∴

6.已知关于 x的一元二次方程 mx2－4x＋4＝0①，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0②，求使方程①②都有实数根的

充要条件.

【答案】方程①有实数根的充要条件是即 m≤1 且m≠0.

方程②有实数根的充要条件是 Δ2＝(－4m)2－4(4m2－4m－5)≥0，即 m≥－.

∴方程①②都有实数根的充要条件是－ ≤m≤1，且 m≠0，即－ ≤m＜0或0＜m≤1.

题组 3 充要条件的证明

7.求证：方程 mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0＜m＜.

【答案】证明　(1)充分性：当 0＜m＜时，Δ＝4－12m＞0，所以方程 mx2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根，

设为 x1，x2.

由一元二次方程根与系数的关系可知，x1x2＝＞0，

故方程 mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.

即0＜m＜方程⇒mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程 mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，

则 ∴0＜m＜，

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