高一数学课时同步练4.6 函数的应用（二）（解析版）

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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.6 函数的应用（二）
一、基础巩固
1．（2020·南京师范大学附属实验学校月考）函数
2
3 4y x x  
的零点是（ ）
A．（
1
，0）B．（4，0）C．（
1
，0）或（4，0）D．
1
或4
【答案】D
【解析】函数
2
3 4y x x  
的零点就是方程
2
3 4 0x x  
的根，
由
2
3 4 0x x  
可得
 
4 1 0x x  
，
解得
1x 
或
4x
，故选：D.
2．（2020·湖南岳阳楼·岳阳一中高一月考）函数
f
(
x
)＝lg
x
－
1
x
的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)
【答案】B
【解析】函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且函数 f（x）单调递增，
∵
 
1
f 1 1 0 f 10 1 0
10
  ，
，
∴在（1，10）内函数 f（x）存在零点，
故选 B
3．（2020·江苏省江浦高级中学高一月考）若函数
的零点是
2
（
0a
），则函数
2
( )g x ax bx 
的零点是（ ）
A．
2
B．
2
和
0
C．
0
D．
2
和
0
【答案】B
1
【解析】由条件知
(2) 0f
，∴
2b a 
，∴
2
( ) ( 2)g x ax bx ax x  
的零点为
0
和
2
.
4．（2019·广东广州·高一期末）已知函数
 
, 0
ln , 0
x
e x
f x x x
，
   
g x f x a 
，若
 
g x
恰有 2个零
点，则实数 a的取值范围是（ ）
A．
 
1,0
B．
1,0
C．
 
0,1
D．
0,1
【答案】B
【解析】依题意，函数
 
y f x
的图象与直线
y a 
有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数
 
y f x
的图象与直线
y a 
有两个交点，则
0 1a 
，即
1 0a 
.
5．已知 f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且 f(a)·f(b)＜0，则 f(x)＝0在[a，b]内（ ）
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根
【答案】D
【解析】解：设
，且
1 2
x x
，则
3 3 3 3
1 2 1 1 2 2 2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x x x x x x x  
，
因为
1 2
x x
，所以
3 3
2 1 2 1
( ) ( ) 0x x x x 
，即
1 2
( ) ( )f x f x
所以 f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，
因为 f(a)·f(b)＜0，
2
所以 f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.
6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））方程
2
log 2x x 
的解所在的区间为（ ）
A．
(0.5,1)
B．
(1,1.5)
C．
(1.5, 2)
D．
(2, 2.5)
【答案】B
【解析】令
2
( ) log 2f x x x  
，易知此函数为增函数，
由
(1) 0 1 2 1 0,f  
2 2 2 2
3 1 3
(1.5) log 1.5 1.5 2 log log log 2 0
2 2 2
f  
.
所以
2
( ) log 2f x x x  
在
(1,1.5)
上有唯一零点，即方程
2
log 2x x 
的解所在的区间为
(1,1.5)
.
7．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数 f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则 m的取值
范围是（ ）
A．
1
,2
 
 
 
 
B．
1
1, 2
 
 
 
 
C．
1,
2
 
 
 
 
D．
 
1
, 1 ,
2
 
  
 
 
【答案】B
【解析】解：因为函数 f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，
所以
(1) (2) 0f f 
，即
( 1)(2 1) 0m m  
解得
1
12
m  
，故选：B
8．（2020·云南保山·高一其他）函数
 
2lnf x x
x
 
的零点所在的区间为（ ）
A．
()
1, 2
B．
 
2,3
C．
 
3, 4
D．
 
4,5
3
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