高一数学必修1集合例题讲解

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高一数学必修 1集合例题讲解
集合的含义与表示例题讲解
题型一、集合与方程的综合应用
例1. 已知集合 ,若,求集合 A.
分析:由题意可知集合 A是由方程 的实数根构成的,“ ”指的
是 是方程 的一个实数根.
解:∵
∴ 是方程 的一个实数根
∴
解之得:
∴原方程为:
解之得:
∴集合 .
例2. 已知集合 .
（1）当 A中只有一个元素时,求 的值,并求出此元素;
（2）当 A中有两个元素时,求 满足的条件;
（3）当 A中至少有一个元素时,求 满足的条件.
分析:集合 A为含参方程 的实数根构成的集合.因为方程所含参
数为二次项系数,所以该方程可以是关于 的一元一次方程,也可以是一元二次
方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.
（1）当 A中只有一个元素时,说明方程 只有一个实数根,此时
;或该方程有两个相等的实数根,此时 ;
（2）当 A中有两个元素时 ,说明方程 为一元二次方程 ,此时
,且方程有两个不相等的实数根;
（3）当A中至少有一个元素时,说明方程 只有一个实数根或有
两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合.
解:（1）分为两种情况:
1
①当 时,原方程为: ,解之得:
∴,符合题意;
②当 时,由题意可知方程 有两个相等的实数根
∴
解之得:
∴原方程为:
解之得:
∴.
综上,当 时,集合 A只有一个元素 ;当 时,集合 A只有一个元素
;
（2）∵A中有两个元素
∴方程 为一元二次方程,且有两个不相等的实数根
∴
解之得:且;
（3）∵A中至少有一个元素
∴A中有一个元素或有两个元素
当A中有一个元素时,由（1）可知:或;
当A中有两个元素时,由（2）可知:且.
综上,满足的条件是 ≥ .
重要结论:
判断形如 的方程的实数根的个数的方法是:
2
（1）当 时,方程可化为 的形式:
①当 时,方程有唯一一个实数根 ;
②当 时,方程有无数个实数根;
③当 时,方程没有实数根;
（2）当 时,原方程为关于 的一元二次方程:
①若 ,则方程有两个不相等的实数根;
②若 ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数
根组成的集合时,集合只有一个元素）;
③若 ,则方程没有实数根.
例3. 已知 , ,当 时,求
集合 B.
解:∵
∴方程 ,即 有两个相等的实数根,且
由根与系数的关系定理可得:
解之得:
∴
整理得:
解方程 得:
∴集合 .
例4. 设, , ,若,试用列举
法表示集合 B.
分析:本题要先由根与系数的关系定理求出 的值,然后把集合 B中的方程转
化为关于 的具体的一元二次方程,解方程即可求出集合 B.
解:∵
3
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