高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）专题10 统计与概率大题解题模板（解析版）

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专题 10 统计与概率大题解题模板
一、频率分布直方图
1、频率分布直方图的性质：
(1)小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率。这样，频率分布直方
图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于 ；
(3)频数/相应的频率=样本容量。
2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频
率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性。
3、频率分布直方图中的纵坐标为 ，而不是频率值。
例1-1．某城市 户居民月平均用电量(单位：度)，以 、 、 、
、 、 、 分组的频率分布直方图如图。
(1)求直方图中 的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为 、 、 、 的四组用户中，用
分层抽样的方法抽取 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？
【解析】(1)由 得：
，∴直方图中 的值是 ；
(2)月平均用电量的众数是 ，
∵ ，
∴月平均用电量的中位数在 内，设中位数为 ，
由 得： ，
∴月平均用电量的中位数是 ；
(3)月平均用电量为 的用户有 户，
月平均用电量为 的用户有 户，
月平均用电量为 的用户有 户，
月平均用电量为 的用户有 户，
抽取比例 ，
1
∴月平均用电量在 的用户中应抽取 户。
二、茎叶图
1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是
小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶。
2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑。
例2-1．某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ；
乙： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 。
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较。
【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，
中位数是 ；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是 ，
乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好。
三、散点图
1、两个变量的关系
分类 函数关系 相关关系
特征 两变量关系——确定 两变量关系——带有随机性
2、散点图：将样本中 个数据点 (， ，…， )描在平面直角坐标系中得到的图形。
3、正相关与负相关：
(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。
(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。
4、最小二乘法：设 、 的一组观察值为 (， ， … ， )，且回归直线方程为
。当 取值 (， ，…， )时， 的观察值为 ，差 (， ，…，
)刻画了 实 际 观 察 值 与 回归直线 上 相 应点纵坐标之 间 的 偏离程度 ， 通 常 是 用离差的 平 方 和，即
作为总离差，并使之达到最小。这样，回归直线就是所有直线中 取最小值的那
一条。由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法。
5、回归直线方程的系数计算公式
回归直线方程 回归系数 系数 的计算公式
方程或公式
上方加记号
“^”的意义 区分 的估计值 、 上方加“^”表示由观察值按
最小二乘法求得的估计值
2
与实际值
例3-1．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验，收集数据
如下：
零件数 (个)
加工时间
(分)
(1) 与 是否具有线性相关关系？
(2)如果 与 具有线性相关关系，求 关于 的回归直线方程。
【解析】(1)画散点图如下：由右图可知与具有线性相关关系；
(2)列表、计算：
， ， ， ， 。
，
，
即所求的回归直线方程为： 。
四、古典概型
例4-1．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为 、 、 ；蓝色卡片两张，标号为 、 。
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和
小于 的概率。
【解析】(1)标号为 、 、 的三张红色卡片分别记为 、 、 ，
标号为 、 的两张蓝色卡片分别记为 、 ，
从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
、 、 、 、 、 、 、 、 、 共种，
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 的结果为：
、 、 ，共种，
∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 的概率为 ；
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