高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）专题02 计数原理（同步练习）（人教A版选修2-3）（解析版）

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专题 02 计数原理（同步练习）

一、计数原理

例1-1．要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种

不同的挂法？

【解析】从幅画中选出幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第步，从幅画中选幅挂在左边墙上，有种选法，

第步，从剩下的幅画中选幅挂在右边墙上，有种选法，

根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是。

例1-1．给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母或，后两个要求用数字

。问最多可以给多少个程序命名？

【解析】先计算首字符的选法。由分类加法计数原理，首字符共有种选法，

再计算可能的不同程序名称。由分步乘法计数原理，最多可以有个不同的

名称，

即最多可以给个程序命名。

例1-3．核糖核酸( )分子是在生物细胞中发现的化学成分一个分子是一个有着数百个甚至数千

个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。总共有种不同的碱基，分别

用、、、表示。在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置

上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的

分子？

【解析】个碱基组成的长链共有个位置，

从左到右依次在每一个位置中，从、、、中任选一个填入，

每个位置有种填充方法，

根据分步乘法计数原理，长度为的所有可能的不同分子数目有个。

例1-4．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。

因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，

需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量

单位，每个字节由个二进制位构成。问：

(1)一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？

(2)计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个

汉字至少要用多少个字节表示？

【解析】(1)用图来表示一个字节。一个字节共有位，每位上有种选择，

根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符；

(2)由(1)知，用一个字节所能表示的不同字符不够个，

我们就考虑用个字节能够表示多少个字符，

前一个字节有种不同的表示方法，后一个字节也有种表示方法，

根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符，

这已经大于汉字国标码包含的汉字个数，

所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用个字节表示。

例1-5．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台

了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，

并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌

照？

【解析】将汽车牌照分为类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右。字母组合在左时，

分个步骤确定一个牌照的字母和数字：

第步，从个字母中选个，放在首位，有种选法，

第步，从剩下的个字母中选个，放在第位，有种选法，

第步，从个数字中选个，放在第位，有种选法，

第步，从剩下的个数字中选个，放在第位，有种选法，

第步，从剩下的个字母中选个，放在第位，有种选法，

根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有个，

同理，字母组合在右的牌照也有个。

∴共能给辆汽车上牌照。

二、排列

例2-1．某年全国足球甲级(A 组)联赛共有个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共

进行多少场比赛？

【解析】任意两队间进行次主场比赛与次客场比赛，对应于从个元素中任取个元素的一

个排列。

∴比赛的总场次是。

例2-2．(1)从本不同的书中选本送给名同学，每人各本，共有多少种不同的送法？

(2)从种不同的书中买本送给名同学，每人各本，共有多少种不同的送法？

【解析】(1)从本不同的书中选出本分别送给名同学，

对应于从个不同元素中任取个元素的一个排列，

因此不同送法的种数是。

(2)由于有种不同的书，送给每个同学的本书都有种不同的选购方法，

因此送给名同学每人各本书的不同方法种数是。

例2-3．用到这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

【解析】解法 1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是，因此可以分两步完成排

列，

第步，排百位上的数字，可以从到这九个数字中任选个，有种选法，

第步，排十位和个位上的数字，可以从余下的个数字中任选个，有

种选法，

根据分步乘法计数原理，所求的三位数有个。

解法 2：如图所示，符合条件的三位数可分成类：

每一位数字都不是的三位数有个，

个位数字是的三位数有个，十位数字是的三位数有个，

根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有个。

解法 3：从到这个数字中任取个数字的排列数为，其中在百位上的排列

数是，

它们的差就是用这个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，

即所求的三位数的个数是。

例2-4．某信号兵用红、黄、蓝面旗从上到下挂在竖直旗杆上表示信号，每次可以任意挂面、面或

面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

【解析】分类：第一类用 1面旗表示的信号有种，

第二类用面旗表示的信号有种，

第三类用面旗表示的信号有种，

由分类计数原理，所求的信号种数是：。

例2-5．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位

售票员，共有多少种不同的分配方案？

【解析】解决这个问题可以分为两步，

第一步：把位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上有种方法，

第二步：把位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上有种方法，

利用分步计数原理即得分配方案的种数： (种)。

例2-6．从个不同的文艺节目中选个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二

个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

【解析】解法一：(从特殊位置考虑)；

解法二：(从特殊元素考虑)若选：，若不选：，则共有种；

解法三：(间接法)。

例2-7．男女排成一排，按下列要求各有多少种排法：

(1)男女相间；

(2)女生按指定顺序排列。

【解析】(1)先将男生排好，有种排法，

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