高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）专题01 计数原理（知识梳理）（人教A版选修2-3）（原卷版）

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专题 01 计数原理（知识梳理）
一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1、分类加法计数原理：
完成一件事情，有 类办法，在第 类办法中有 种不同的方法，在第 类办法中有 种不同
的方法…在第 类办法中有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。
例1-1．一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
2、分步乘法计数原理：
完成一件事情，需要分成 个步骤，做第 步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的方法
…做第 步有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。
例1-2．如图，要给地图 、 、 、 四个区域分别涂上 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜
色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
3、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点：
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，
各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分
步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的
一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。
4、计数原理的解题步骤
(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分 类”还是“分 步”；
(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
(4)作答。
5、从 个不同元素中，每次取出 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、
第二……第 位上选取元素的方法都是 个，所以从 个不同元素中，每次取出 个元素可重复排列
数 。
例1-3．书架的第 层放有 本不同的计算机书，第 层放有 本不同的文艺书，第 层放 本不同的
体育书。
(1)从书架上任取 本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架的第 、 、 层各取 本书，有多少种不同的取法？
1
(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
二、排列
1、排列的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序
排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。
2、排列数的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出
元素的排列数，用符号 表示。
3、单一排列问题的解决方法
例2-1． 名同学，其中 名男同学， 名女同学：
(1)站成一排，共有多少种不同的排法？
(2)站成两排，前排 名同学，后排 名同学，共有多少种不同的排法？
(3)站成两排，前排 名女同学，后排 名男同学，共有多少种不同的排法？
(4)站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(5)站成三排，前排 名同学，中间排 名同学，后排 名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多
2
少种不同的排法？
(6)站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(7)站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
(8)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
(9)站成一排， 名男同学必须站在一起， 名女同学也必须站在一起。
(10)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(11)站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
(12)站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
(13)站成一排， 名男同学都不能相邻， 名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
(14)站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
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