高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）专题01 计数原理（知识梳理）（人教A版选修2-3）（解析版）

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专题 01 计数原理（知识梳理）

一、基本概念

一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1、分类加法计数原理：

完成一件事情，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同

的方法…在第类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。

例1-1．一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？

【解析】从总体上看，蚂蚁从顶点爬到顶点有三类方法，从局部上看每类又需两步完成，

∴第一类条，第二类条，第三类条，

∴根据加法原理，从顶点到顶点最近路线共有条。

2、分步乘法计数原理：

完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法

…做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。

例1-2．如图，要给地图、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜

色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？

【解析】按地图、、、四个区域依次分四步完成，

第一步种，第二步种，

第三步种，第四步种，

∴根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有。

3、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点：

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，

各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分

步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的

一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。

4、计数原理的解题步骤

(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”；

(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；

(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；

(4)作答。

5、从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、

第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列

数。

例1-3．书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放本不同的

体育书。

(1)从书架上任取本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第、、层各取本书，有多少种不同的取法？

(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【解析】(1)要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，

因此是分类问题，应用分类计数原理：从书架上任取本书，有类方法：

第类方法是从第层取本计算机书，有种方法，

第类方法是从第层取本文艺书，有种方法，

第类方法是从第层取本体育书，有种方法，

根据分类加法计数原理，不同取法的种数是；

(2)要完成的事是“从书架的第、、层中各取一本书”，

由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，

只有第、、层都取后，才能完成这件事，

因此是分步问题，应用分步计数原理：

从书架的第、、层各取本书，可以分成个步骤完成：

第步从第层取本计算机书，有种方法，

第步从第层取本文艺书，有种方法，

第步从第层取本体育书，有种方法，

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是；

(3)要完成的事是“取本不同学科的书”，

先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各本，

再要考虑取本计算机书或取本文艺书都只完成了这件事的一部分，

应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，

因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理：

第类方法是本不同的计算机书和本不同的文艺书中各选取本，有种方法，

第类方法是本不同的计算机书和本不同的体育书各选取本，有种方法，

根据分类加法计数原理，不同取法的种数是。

二、排列

1、排列的定义：从个不同元素中，任取 ( )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序

排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。

说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同。

2、排列数的定义：从个不同元素中，任取 ( )个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出

元素的排列数，用符号表示。

3、单一排列问题的解决方法

例2-1．名同学，其中名男同学，名女同学：

(1)站成一排，共有多少种不同的排法？

【解析】问题可以看作个元素的全排列。

(2)站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？

【解析】根据分步计数原理。

(3)站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？

【解析】根据分步计数原理。

(4)站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

【解析】首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列。

(5)站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多

少种不同的排法？

【解析】首先先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列。

(6)站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

【解析】根据分步计数原理：

第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，

∴共有种排列方法。

(7)站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

【解析】解法 1(直接法)：

第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，

第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，

∴一共有种排列方法；

解法 2(排除法)：

若甲站在排头有种方法，若乙站在排尾有种方法，

若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，

∴甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有种。

(8)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？

【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，

再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，

最后将甲、乙两名同学“松绑”进行排列有种方法，

∴这样的排法一共有种方法。

(9)站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起。

【解析】先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，

再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，

这时一共有个整合的后元素，有种情况，

∴一共有排法种数： (种)。

(10)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

【解析】解法一：将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，

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