高二年级数学精品课程（人教A版2019）第五讲 函数的单调性和最值（解析版）

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第五讲 函数的单调性和最值
【基础知识】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A，如果取区间 M中任
意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1>0，则当
Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)>0
时，就称
函数 y＝f(x)在区间 M上是
增函数
Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)<0
时，就称函数
y＝f(x)在区间 M上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间 M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 M上具有单
调性，区间 M称为单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
条件 (1)对于任意 x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
(3)对于任意 x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
(4)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
结论 M为最大值 M为最小值
【考点剖析】
考点一　确定函数的单调性(区间)
【典例 1-1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递
增，若 ，则下列不等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
1
【详解】
根据题意可得函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
对A，由 在 上为增函数，且 ，
所以 ，故 A正确；
对B，由 ， ，故 B正确；
对C，由函数 在 上为增函数，所以 ，故 C正确；
对D，由函数 在 上为增函数，所以 ，故 D错误.
故选：D
【典例 1-2】（2021·云南丽江市·高一期末）定义在 R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
义在 R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
或 ，
2
故 或 ，
故选：C
【跟踪训练 1】（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在 上的奇函数 在
上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为 ，
所以 或 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，
因为 在 上为奇函数，
所以 在 上单调递增，且 ，
因此 ，
综上：不等式 的解集为 .
故选：C.
【跟踪训练 2】（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
3
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