高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十一讲 函数与方程（原卷版）

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第三讲 基本不等式
【基础知识】
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数 y＝f(x)在实数 α处的值等于零，即 f ( α ) ＝ 0 ，则 α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程 f(x)＝0有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x
轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
f ( a ) f ( b )<0 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 ( x 1， 0) ， ( x 2， 0) ( x 1， 0) 无交点
零点个数 2 1 0
【考点剖析】
考点一　函数零点所在区间的判定
【例 1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
(2)设函数 y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若 x0∈(n，n＋1)，n∈N，则 x0所在的区间是_
_______.
【解析】　(1)因为 y＝ln x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，
所以 f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
1
根据零点存在性定理，可知函数 f(x)＝ln x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.
(2)设f(x)＝x3－，则 x0是函数 f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数 y＝x3与y＝的图象如图所
示.
因为 f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以 f(1)f(2)<0，所以 x0∈(1，2).
规律方法　确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是
否有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二　确定函数零点的个数
【例 2】 (1)(一题多解)函数 f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)定义在 R上的函数 f(x)，满足 f(x)＝且 f(x＋1)＝f(x－1)，若 g(x)＝3－log2x，则函数 F(x)＝
f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　)
A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个
2
【解析】　(1)法一　　由 f(x)＝0得或
解得 x＝－2或x＝e.
因此函数 f(x)共有 2个零点.
法二　函数 f(x)的图象如图 1所示，由图象知函数 f(x)共有 2个零点.
图1
(2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即 f(x＋2)＝f(x)，知 y＝f(x)的周期 T＝2.
在同一坐标系中作出 y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图 2).
图2
由于两函数图象有 2个交点.
所以函数 F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有 2个零点.
规律方法　函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函数
3
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