高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十五讲 导数与函数的零点（解析版）

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第十五讲 导数与函数的零点
【考点剖析】
考点一　判断零点的个数
【 例 1】已 知 二 次 函 数 f(x)的 最 小 值 为 － 4， 且 关 于 x的 不 等 式 f(x)≤0的 解 集 为 {x|－
1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)求函数 g(x)＝－4ln x的零点个数．
解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于 x的不等式 f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴设 f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且 a>0.
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－2x－3.
(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，
∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：
X(0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x)＋0－0＋
g(x)极大值 极小值
当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，
当x>3 时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.
又因为 g(x)在(3，＋∞)上单调递增，
因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1个零点，
故g(x)仅有 1个零点．
规律方法　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求解，利用导
数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出 g(x)的图
1
象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的
单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围
【例 2】 函数 f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数 m的取值范围．
解　(1)函数 f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝a＋ln x＋1，
因为 f′(1)＝a＋1＝0，解得 a＝－1，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，
即f′(x)＝ln x，令 f′(x)>0，解得 x>1；
令f′(x)<0，解得 0<x<1.
所以 f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为 y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个
不同的交点．
由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，
由题意得，m＋1>－1，
即m>－2，①
当0<x<e 时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当 x>e 时，f(x)>0.
当x>0 且x→0时，f(x)→0；
当x→＋∞时，显然 f(x)→＋∞.
由图象可知，m＋1<0，即 m<－1，②
由①②可得－2<m<－1.
2
所以 m的取值范围是(－2，－1)．
规律方法　与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，
并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 x轴的位置关系，进而确定参数的
取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
考点三　函数零点的综合问题
【例 3】 设函数 f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数；
(2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln .
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；
当a>0 时，因为 y＝e2x单调递增，y＝－单调递增，
所以 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(a)>0，假设存在 b满足 0<b<时，且 b<，f′(b)<0，
故当 a>0 时，f′(x)存在唯一零点．
(2)证明　由(1)，可设 f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为 x0，
当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以当 x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)．
由于 2e2x0－＝0，
所以 f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .
故当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln .
规律方法　1.在(1)中，当 a>0 时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而 f′(x)在(0，
＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到 b，使 f′(b)<0.
2．由(1)知，函数 f′(x)存在唯一零点 x0，则 f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明
3
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