高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十四讲 导数在不等式中的应用（解析版）

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第十四讲 导数在不等式中的应用
【考点剖析】
考点一　构造函数证明不等式
【例 1】 已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.
证明　(1)由题意得 g′(x)＝(x>0)，
当0<x<1 时，g′(x)<0；当 x>1 时，g′(x)>0，
即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
所以 g(x)≥g(1)＝1，得证.
(2)由f(x)＝1－，得 f′(x)＝，
所以当 0<x<2 时，f′(x)<0，当 x>2 时，f′(x)>0，
即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
所以 f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当 x＝2时取等号).①
又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当 x＝1时取等号)，②
且①②等号不同时取得，
所以(x－ln x)f(x)>1－.
规律方法　1.证明不等式的基本方法：
(1) 利 用 单 调 性 ： 若 f(x)在[a，b]上 是 增 函 数 ， 则 ① ∀x∈[a，b]， 有 f(a)≤f(x)≤f(b)， ②
∀x1，x2∈[a，b]，且 x1<x2，有 f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.
(2)利用最值：若 f(x)在某个范围 D内有最大值 M(或最小值 m)，则∀x∈D，有 f(x)≤M(或
f(x)≥m).
2.证明 f(x)<g(x)，可构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，证明 F(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造
不等式就减少运算量，使得问题顺利解决.
考点二　利用“若 f(x)min>g(x)max，则 f(x)>g(x)”证明不等式
1
【例 2】 已知函数 f(x)＝xln x－ax.
(1)当a＝－1时，求函数 f(x)在(0，＋∞)上的最值；
(2)证明：对一切 x∈(0，＋∞)，都有 ln x＋1>－成立.
(1)解　函数 f(x)＝xln x－ax 的定义域为(0，＋∞).
当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2.
由f′(x)＝0，得 x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当 x>时，f′(x)>0.
所以 f(x)在上单调递减，在上单调递增.
因此 f(x)在x＝处取得最小值，即 f(x)min＝f＝－，但 f(x)在(0，＋∞)上无最大值.
(2)证明　当x>0 时，ln x＋1>－等价于 x(ln x＋1)>－.
由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－，当且仅当 x＝时取等号.
设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
则G′(x)＝，易知 G(x)max＝G(1)＝－，
当且仅当 x＝1时取到，从而可知对一切 x∈(0，＋∞)，都有 f(x)>G(x)，即 ln x＋1>－.
规律方法　1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函
数的最值问题.
2.在证明过程中，等价转化是关键，此处 f(x)min>g(x)max 恒成立.从而 f(x)>g(x)，但此处 f(x)与
g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.
考点三　不等式恒成立或有解问题　
角度 1　不等式恒成立求参数
【例 3－1】 已知函数 f(x)＝(x≠0).
(1)判断函数 f(x)在区间上的单调性；
(2)若f(x)<a在区间上恒成立，求实数 a的最小值.
解　(1)f′(x)＝，
令g(x)＝xcos x－sin x，x∈，则 g′(x)＝－xsin x，
显然，当 x∈时，g′(x)＝－xsin x<0，即函数 g(x)在区间上单调递减，且 g(0)＝0.
从而 g(x)在区间上恒小于零，
2
所以 f′(x)在区间上恒小于零，
所以函数 f(x)在区间上单调递减.
(2)不等式 f(x)<a，x∈恒成立，即 sin x－ax<0 恒成立.
令φ(x)＝sin x－ax，x∈，
则φ′(x)＝cos x－a，且 φ(0)＝0.
当a≥1时，在区间上 φ′(x)<0，即函数 φ(x)单调递减，
所以 φ(x)<φ(0)＝0，故 sin x－ax<0 恒成立.
当0<a<1 时，φ′(x)＝cos x－a＝0在区间上存在唯一解 x0，
当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，故 φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且 φ(0)＝0，
从而 φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与 sin x－ax<0 恒成立相矛盾.
当a≤0时，在区间上 φ′(x)>0，即函数 φ(x)单调递增，且 φ(0)＝0，得 sin x－ax>0 恒成立，这
与sin x－ax<0 恒成立相矛盾.
故实数 a的最小值为 1.
规律方法　1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行
求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值； “一
分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.
2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如 a≥f(x)(或
a≤f(x))的形式，通过求函数 y＝f(x)的最值求得参数范围.
角度 2　不等式能成立求参数的取值范围
【例 3－2】 已知函数 f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R).
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数 a的取值范围；
(2)函数 g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得 f(x0)≥g(x0)成立，求实数 a的取值范围.
解　(1)f′(x)＝，当导函数 f′(x)的零点 x＝a落在区间(1，2)内时，函数 f(x)在区间[1，2]上就不
是单调函数，即 a∉(1，2)，
所以实数 a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
(2)由题意知，不等式 f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，
3
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