高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十三讲 导数在研究函数中的应用（解析版）

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第十三讲 导数在研究函数中的应用
【基础知识】
1.函数的单调性与导数的关系
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0
x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′
(x)>0
图象
形如山峰 形如山谷
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
3.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函数 f(x)
在[a，b]上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值.
(3)求可导函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求 f(x)在(a，b)内的极值；
②将 f(x)的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[微点提醒]
1.函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单
调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然
认为极值就是最值.
1
4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的
大小关系.
【考点剖析】
考点一　求函数的单调区间
【例 1】 已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值.
(1)确定 a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间.
解　(1)对f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
因为 f(x)在x＝－处取得极值，所以 f′＝0，
即3a·＋2·＝－＝0，解得 a＝.
(2)由(1)得g(x)＝ex，
故g′(x)＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)<0，即 x(x＋1)(x＋4)<0，
解得－1<x<0 或x<－4，
所以 g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).
规律方法　1.求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式 f′(x)>0，得单调递增区间；(4)
在定义域内解不等式 f′(x)<0，得单调递减区间.
2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.
考点二　讨论函数的单调性
【例 2】（2021·青海省高三一模）设函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有最大值-ln2，求 m+n 的最小值.
2
【解析】（1）函数 定义域为 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增；
当 时， 得 ，
∴ 在 上单调递增；在 上单调递减.
(2)由（1）知，当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减.
∴
∴ ， ∴
令 则
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ .
规律方法　1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和函数的间断点.
2.个别导数为 0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取
到)，f(x)在R上是增函数.
3
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