高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十七讲 空间向量的数量积运算（解析版）

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第十七讲 空间向量的数量积运算
【知识梳理】
1、数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量 a
，
b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB 叫做向量 a与b的夹角，记作〈a
，
b〉，其范围是[0 ， π] ，若〈a
，
b〉＝，则称 a与b
互相垂直，记作 a⊥b.
②非零向量 a
，
b的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a
，
b〉.
2、空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【考点剖析】
考点一　数量积的线性运算　
【例 1】 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G分别
是AB，AD，CD 的中点，计算：
(1)EF·BA；(2)EG·BD；
【解析】　设AB＝a，AC＝b，AD＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a
，
b〉＝〈b
，
c〉＝〈c
，
a〉＝60°，
(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c，
EF·BA＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)EG·BD＝(EA＋AD＋DG)·(AD－AB)
＝·(AD－AB)
＝·(AD－AB)
＝·(c－a)
＝
1
＝.
规律方法　1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接
计算；二是利用坐标运算.
2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.
(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝.
考点二　数量积的相关应用
【例题 2-1】在棱长为 1的正方体 中，若点 E是线段 AB 的中点，点 M是底面 ABCD 内
的动点，且满足 ，则线段 AM 的长的最小值为（ ）
A．B．C．1 D．
【答案】B
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，
2
所以 ，由 可得 ，即 ，所
以线段 AM 的长的最小值为 ．
故选：B．
【例题 2-2】三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ， ， 为棱 上
一点，则 的值为（ ）
A．B．1 C．D．与 点位置关系
【答案】A
【详解】
如图所示，
取 的中点 ，连接 ，
3
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