高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十六讲 空间向量及其线性运算（原卷版）

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第十六讲 空间向量及其线性运算
【知识梳理】
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些
向量叫做共线向量或平行向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
【考点剖析】
考点一　空间向量的基本概念
【例 1-1】下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于 0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【详解】
A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为 0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.
【例 2-1】下列说法中正确的是（ ）
A．直线的方向向量是唯一的
B．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C．直线的方向向量有两个
D．平面的法向量是唯一的
【答案】B
【详解】
1
若直线上的向量 以及与向量 共线的非零向量都可以作为直线的法向量，故 A、C错；
表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 时，则向量 是平面 的法向量，则 D选项错.
【跟踪训练 1】已知平面 ，其中点 ，2， ，法向量 ，1， ，则下列各
点中不在平面 内的是（ ）
A． ，2，B． ，5，
C． ，4，D． ， ，
【跟踪训练 2】设向量 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．{ B．C．D．
【跟踪训练 3】若直线 l过点 A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线 l的一个方向向量可以是（ ）
A．B．C．D．
考点二　空间向量的线性运算
【例 1】 如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB
＝b，AD＝c，M，N，P分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a
，
b
，
c表示以下各向量：
(1)AP；(2)MP＋NC1.
【解析】　(1)因为 P是C1D1的中点，所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1
＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.
(2)因为 M是AA1的中点，所以MP＝MA＋AP
2
＝A1A＋AP
＝－a＋＝a＋b＋c.
又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1
＝AD＋AA1＝c＋a，
所以MP＋NC1＝＋
＝a＋b＋c.
规律方法　(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要
求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量
转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这
个法则称为向量加法的多边形法则.
提醒　空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.
【过关检测】
1．已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量 ，且 ， ， ，则一定共线的三点是( )
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
3．向量 互为相反向量，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B． 为实数 0
3
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