高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十九讲 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）

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第十九讲 空间向量及其运算的坐标表示
【考点剖析】
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
加法 a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积 a·b a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0
模|a|
夹角 〈a
，
b〉(a≠0，b≠0) cos〈a
，
b〉＝
【考点剖析】
考点一 空间直角坐标系
【典例 1-1】已知 ， ， 是空间直角坐标系 中 轴、 轴、 轴正方向上的单位向量，且
， ，则点 的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题设知： ， ，
∴ ，若 ，则 ，易得 ，
∴.
故选：D
【典例 1-2】在空间直角坐标系中，向量 ， ，则向量 （ ）
A．B．C．D．
1
【答案】A
【详解】
由题意 ．
故选：A．
【跟踪训练 1】在空间直角坐标系 中，已知点 ，向量 ，则线段 AB 的中
点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 的中点为 ，即 ，
故选：C.
【跟踪训练 2】空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为 A（3，1，0），B（－1，3，0），若
点C满足 ＝ ＋ ，其中 ， ∈R， ＋ ＝1，则点 C的轨迹为
A．平面 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】B
【详解】
设点 C的坐标为 ，由题意可得 ，
再由 ＋ ＝1可得， ，
故点 C的轨迹方程为
故选：B．
【跟踪训练 3】已知空间直角坐标系 中， ， ， ，点 在
2
直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设 ，
由点 在直线 上，可得存在实数 使得 ，
即 ，可得 ,
所以 ,
则 ，
根据二次函数的性质，可得当 时，取得最小值 ，此时 .
考点二 空间向量运算的坐标表示
【典例 2-1】已知向量 和 平行，则 为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
向量 ， 平行，
，
，
故选：C．
3
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