高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十二讲 导数的概念及运算（解析版）

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第十二讲 导数的概念及运算
【基础知识】
1.函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：函数 y＝f(x)在点 x0的瞬时变化率 Error: Reference source not found__＝l，通常称为
f(x)在点 x0处的导数，并记作 f′(x0)，即 Error: Reference source not found ＝f′(x0).
(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点( x 0， f ( x 0))的切线的
斜率等于 f′(x0).
2.函数 y＝f(x)的导函数
如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间
(a，b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f′(x).于是，在区间(a，b)内，f ′( x ) 构成一个新的函
数，我们把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数，记为 f ′( x )( 或
y x′ 、 y ′) .
3.导数公式表
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αx α
－
1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－ sin x
f(x)＝exf′(x)＝e x
f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝a x
ln a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；
(3)′＝(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.
【考点剖析】
1
考点一　导数的运算
【例 1－1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝x；
(3)f(x)＝ln .
【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex.
(2)因为 y＝x3＋1＋，所以 y′＝3x2－.
(3)因为 y＝ln ＝ln，
所以 y′＝··(1＋2x)′＝.
【例 1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln ，
则f(1)＝(　　)
A.－e B.2 C.－2 D.e
【解析】由已知得 f′(x)＝2f′(1)－，令 x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得 f′(1)＝1，则 f(1)＝2f′(1)＝
2.
答案　B
规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用
运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
考点二　导数的几何意义　
【例 2－1】（2021·广西壮族自治区钦州一中高三月考（理））已知曲线 在点
处的切线方程为 ，则（ ）
A．B．C．D．
2
【解析】
，
将 代入 得 ，故选 D．
【例 2－2】 （2021·梁河县第一中学高三期中（文））函数 的图象存在与直线
平行的切线，则实数 的取值范围是(　　)
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数 的图象存在与直线 平行的切线，即 在
上有解.
在 上有解，则 .
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
【例 2－3】（2021·江西省新余一中高三月考（文））设曲线 f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处
的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn，则 x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由 f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，令 y＝0得xn＝
3
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