高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十八讲 空间向量基本定理（原卷版）

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第十八讲 空间向量基本定理
【知识梳理】
1、共线向量定理：两个空间向量 a
，
b(b≠0)，a
∥
b的充要条件是存在唯一的实数 x，使 a ＝
x b .
2、共面向量定理：如果两个向量 a
，
b不共线，则向量 c与向量 a
，
b共面的充要条件是，存
在唯一的一对实数 x，y，使 c ＝ x a ＋ y b .
3、空间向量分解定理：如果三个向量 a
，
b
，
c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯
一的有序实数组 x，y，z，使 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c .
【考点剖析】
考点一 共线定理、共面定理
【例 1-1】已知 ＝(1，－2，1)， ＝(－1，2，－1)，则 ＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【答案】A
【详解】
解析： ．
故选：A
【例 1-2】如图在平行六面体 中， 与 的交点记为 ．设 ， ，
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A．B．
1
C．D．
【答案】B
【详解】
．
故选：B.
【跟踪训练 1】已知三棱锥 中，点 为棱 的中点，点 为 的重心，设 ，
， ，则向量 （ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练 2】如图所示，在正方体 中，点 是侧面 的中心，若
，求 （ ）
A．1 B．C．2 D．
【跟踪训练 3】在空间四边形 中， ，且 ，则
2
（ ）
A．B．
C．D．
考点二　共线定理、共面定理的应用
【例 2-1】 已知 E，F，G，H分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向
量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面 EFGH.
【解析】证明　(1)连接 BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由
共面向量定理知 E，F，G，H四点共面.
(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD，
因为 E，H，B，D四点不共线，
所以 EH∥BD.
又EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，
所以 BD∥平面 EFGH.
规律方法　(1)证明空间三点 P，A，B共线的方法
①PA＝λPB(λ∈R)；
3
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