高二年级数学精品课程（人教A版2019）第十八讲 空间向量基本定理（解析版）

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第十八讲 空间向量基本定理
【知识梳理】
1、共线向量定理：两个空间向量 a
，
b(b≠0)，a
∥
b的充要条件是存在唯一的实数 x，使 a ＝
x b .
2、共面向量定理：如果两个向量 a
，
b不共线，则向量 c与向量 a
，
b共面的充要条件是，存
在唯一的一对实数 x，y，使 c ＝ x a ＋ y b .
3、空间向量分解定理：如果三个向量 a
，
b
，
c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯
一的有序实数组 x，y，z，使 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c .
【考点剖析】
考点一 共线定理、共面定理
【例 1-1】已知 ＝(1，－2，1)， ＝(－1，2，－1)，则 ＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【答案】A
【详解】
解析： ．
故选：A
【例 1-2】如图在平行六面体 中， 与 的交点记为 ．设 ， ，
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A．B．
1
C．D．
【答案】B
【详解】
．
故选：B.
【跟踪训练 1】已知三棱锥 中，点 为棱 的中点，点 为 的重心，设 ，
， ，则向量 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，且 ，
2
，
，
为 的中点， .
故选：A.
【跟踪训练 2】如图所示，在正方体 中，点 是侧面 的中心，若
，求 （ ）
A．1 B．C．2 D．
【答案】C
【详解】
，
故 ， ， ，则 ．
故选：C.
【跟踪训练 3】在空间四边形 中， ，且 ，则
3
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