高二年级数学精品课程（人教A版2019）第三讲基本不等式（原卷版）

3.0 envi 2025-04-14 18 4 763.76KB 9 页 3知币

侵权投诉

第三讲基本不等式

【基础知识】

1.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

2.均值不等式：≤

(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b

时取等号.

(3)其中称为正数 a，b的算术平均数，称为正数 a，b的几何平均数.

3.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b时取等号.

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b时取等号.

4.利用均值不等式求最值

已知 x≥0，y≥0，则

(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y

时，x＋y有最小值是 2(简记：积定和最小).

(2)如果和 x＋y是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y

时，xy 有最大值是(简记：和定积最大).

5.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式不等式叫作一元二次不等式.

6.三个“二次”间的关系

判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两相异实根

x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根 x1＝

x2＝－

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集 { x | x 1＜ x ＜ x 2}∅ ∅

7.(x－a)(x－b)>0 或(x－a)(x－b)<0 型不等式的解集

不等式解集

a<b a＝b a>b

(x－a)·(x－b)>0 { x | x < a

或

x > b } { x | x ≠ a } { x | x < b

或

x > a }

(x－a)·(x－b)<0 { x | a < x < b } ∅{ x | b < x < a }

8.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f ( x )· g ( x )>0(<0) .

(2)≥0(≤0)⇔f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且

g ( x ) ≠ 0 .

[方法技巧]

1.有关分数的性质

(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).

(2)若ab>0，且 a>b⇔<.

2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当 a＝b时取等号.

3.≤≤≤(a>0，b>0).

4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.

1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

5.解不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当 a＝0时的情形.

6.不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x恒成立⇔或

(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x恒成立⇔或

【考点剖析】

考点一　不等式的性质

【典例 1】已知，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

故A错误;

故B错误;

故C错误;

故D正确.

故选: D

【典例 2】对于任意实数，，，，下列命题正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】

A：若，则，故 A错误；

B：若，则，则，故 B错误；

C：因为，则，两边同除以，得，故 C正确；

D：若，则，故 D错误.

故选：C.

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

高二年级数学精品课程（人教A版2019）第三讲基本不等式（原卷版）.doc

共9页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

高二年级数学精品课程（人教A版2019）第三讲基本不等式（原卷版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择:

高二年级数学精品课程（人教A版2019）第三讲 基本不等式（原卷版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择:

高二年级数学精品课程（人教A版2019）第三讲基本不等式（原卷版）