高二年级数学精品课程（人教A版2019）第六讲 函数的奇偶性和周期性（原卷版）

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第六讲 函数的奇偶性和周期性
【基础知识】
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数
设函数 y＝f(x)的定义域为 D，如果对 D内的任意一
个x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则这个函数叫
做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数 y＝g(x)的定义域为 D，如果对 D内的任意一
个x，都有－x∈D，且 g ( － x ) ＝ g ( x ) ，则这个函数叫
做偶函数
关于 y
轴 对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，
都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存 在一个最小 的正数，那么这个最小正数
就叫做 f(x)的最小正周期.
[微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.
(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单
调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则 T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称.
(2)若对于 R上的任意 x都有 f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a
对称.
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
【考点剖析】
1
考点一　函数的奇偶性及应用
【典例 1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
对于 A，定义域为 ，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故 A错误；
对于 B，因为 ， ，所以 为非奇非偶函数，故 B错误；
对于 C，因为 ， ，所以 不是增函数，故 C错误；
对于 D，定义域为 ，
因为 ，
所以 是奇函数，
，
令 为增函数，
也是增函数，
所以 是增函数.
故D正确.
故选：D.
【典例 1-2】已知函数 为 上的奇函数，当 时， ；若 ， ，
，则（ ）
2
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
当 时， ，由奇函数的性质知，
， ，函数单调递减；
又 ， ，
则
由函数单减知，
故选：D
【跟踪训练 1】偶函数 满足 ，且在 时， ，则
（ ）
A．B．1 C．D．
【跟踪训练 2】设 为定义在 R上的奇函数，当 时， (为常数)，
则不等式 的解集为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪训练 3】设 是奇函数，若函数 图象与函数 图象关于直线 对
称，则 的值域为（ ）
3
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