高二年级数学精品课程（人教A版2019）第九讲 对数与对数函数（原卷版）

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第九讲 对数与对数函数
【基础知识】
1.对数的概念
一般地，对于指数式 ab＝N，我们把“以 a为底 N的对数 b”记作 logaN，即 b＝logaN(a>0，且
a≠1).其中，数 a
叫做对数的底数，N
叫做真数，读作“b等于以 a为底 N的对数”.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：① alogaN＝N；② logaab＝b(a>0，且 a≠1).
(2)对数的运算法则
如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM ＋ log aN；
②loga＝logaM － log aN；
③logaMn＝n log aM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且 m≠0).
(3)换底公式：logbN ＝ (a，b均大于零且不等于 1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，
＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
性质
定义域：(0 ，＋ ∞ )
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1 ， 0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
1
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y ＝ log ax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关
于直线 y ＝ x
对称.
【考点剖析】
考点一　对数的运算
【例 1-1】 (1)计算：÷100－＝________.
(2)计算：＝________.
【解析】　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底
数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
考点二　对数函数的图象及应用　
【例 2-1】 (1)若函数 f(x)＝ax－a－x(a>0 且a≠1)在R上为减函数，则函数 y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则 a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(1，2] D.
【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知 0<a<1.
又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当 x>1 时，y＝loga(x－1)的图象由 y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项 D正确.
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
2
若y＝logax过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2.
根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
考点三　对数函数的性质及应用　
【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析　由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝
ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除
A，B；又 f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以 f(x)的图象关于直线 x＝1对称，C正确，D错误.
答案　C
【例 3－2】 (1)(一题多解)已知 a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则 a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则 a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.
C. D.(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】　(1)法一　因为 a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以 c>a>b.
法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数 y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知 c>a>b.
(2)由题意得 a>0 且a≠1，故必有 a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以 0<a<1，
3
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