高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十一讲直线及其方程（原卷版）

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第二十一讲直线及其方程

【考点剖析】

1.直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与 x轴平行或重

合的直线的倾斜角为零度角.

(2)规定：当直线 l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0；

(3)范围：直线的倾斜角 α的取值范围是[0 ， π) .

2.直线的斜率

(1)定义：直线 y＝kx＋b中的系数

叫做这条直线的斜率，垂直于 x轴的直线斜率不存在.

(2)计算公式：若由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x轴，则 k＝( x 1≠ x 2).若直线的倾

斜角为 θ(θ≠)，则 k＝tan__θ.

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率 y ＝ kx ＋ b 与x轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率 y － y 0＝ k ( x － x 0)

两点式过两点＝

与两坐标轴均不垂直

的直线

截距式纵、横截距＋＝ 1

不过原点且与两坐标

轴均不垂直的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0)

所有直线

【考点剖析】

考点一　直线的倾斜角与斜率　

【例 1】 (1)直线 2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

(2)(一题多解)(经典母题)直线 l过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，

则直线 l斜率的取值范围为________.

【答案】　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)

【解析】　(1)直线 2xcos α－y－3＝0的斜率 k＝2cos α，

因为 α∈，所以≤cos α≤，

因此 k＝2cos α∈[1，].

设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1，].

又θ∈[0，π)，所以 θ∈，

即倾斜角的取值范围是.

(2)法一　设PA 与PB 的倾斜角分别为 α，β，直线 PA 的斜率是 kAP＝1，直线 PB 的斜率是 kBP

＝－，当直线 l由PA 变化到与 y轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α增至 90°，斜率的取值

范围为[1，＋∞).

当直线 l由PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至 β，斜率的变化范围是(－∞，－].

故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).

法二　设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为

y＝k(x－1)，即 kx－y－k＝0.

∵A，B两点在直线 l的两侧或其中一点在直线 l上，

∴(2k－1－k)(－－k)≤0，

即(k－1)(k＋)≥0，解得 k≥1或k≤－.

即直线 l的斜率 k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).

【迁移探究 1】若将例 1(2)中P(1，0)改为 P(－1，0)，其他条件不变，求直线 l斜率的取值范

围.

【解析】设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为

y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0.

∵A，B两点在直线 l的两侧或其中一点在直线 l上，

∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，

即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.

即直线 l的斜率的取值范围是.

【迁移探究 2】若将例 1(2)中的 B点坐标改为 B(2，－1)，其他条件不变，求直线 l倾斜角的

取值范围.

【解析】　由例 1(2)知直线 l的方程 kx－y－k＝0，

∵A，B两点在直线 l的两侧或其中一点在直线 l上，

∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，

即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.

即直线 l倾斜角的取值范围是∪.

规律方法　1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角

的取值范围时，常借助正切函数 y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函

数在[0，π)上并不是单调的.

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存

在.

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