高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十五讲抛物线及其方程（原卷版）

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第二十五讲抛物线及其方程

【考点剖析】

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F叫做抛

物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点 M到准线 l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准

方程

y2＝2px

(p>0)

y2＝－2px

(p>0)

x2＝2py

(p>0)

x2＝－2py

(p>0)

p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离

性

质

顶点 O(0，0)

对称轴 y＝0x＝0

焦点 F F F F

离心率 e＝1

准线方程 x＝－ x＝y＝－ y＝

范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R

开口方向向右向左向上向下

【考点剖析】

考点一　抛物线的定义及应用

【例 1】 (1)已知抛物线 x2＝2y的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝

2，则 y1＋x－y2－x＝(　　)

A.4 B.6 C.8 D.10

(2)若抛物线 y2＝4x的准线为 l，P是抛物线上任意一点，则 P到准线 l的距离与 P到直线 3x＋

4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)

A.2 B. C. D.3

解析　(1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知 x＝2y1，x＝

2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.

(2)由抛物线定义可知点 P到准线 l的距离等于点 P到焦点 F的距离，由抛物线 y2＝4x及直线

方程 3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点 P到准线 l的距离与点 P到直线 3x＋4y＋7＝

0的距离之和的最小值为点 F(1，0)到直线 3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.

答案　(1)B　(2)A

规律方法　应用抛物线定义的两个关键点

(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.

(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x0，y0)到焦点 F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.

考点二　抛物线的标准方程及其性质

【例 2】 (1)抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，其准线 l与x轴交于点 A，点 M在抛物线 C上，当

＝时，△AMF 的面积为(　　)

A.1 B. C.2 D.2

(2)已知圆 C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线 C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于 A，B两点，且|AB|

＝，则抛物线 C2的方程为(　　)

A.y2＝x B.y2＝x

C.y2＝x D.y2＝x

解析　(1)过M作MP 垂直于准线，垂足为 P，

则＝＝＝，

则cos ∠AMP＝，又 0°<∠MAP<180°，

则∠AMP＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形，

设M(m，)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝，

解得 m＝1，M(1，2)，所以△AMF 的面积为×2×2＝2.

(2)由题意，知直线 AB 必过原点，

则设 AB 的方程为 y＝kx(易知 k>0)，

圆心 C1(0，2)到直线 AB 的距离 d＝＝＝，解得 k＝2，

由得或

把代入抛物线方程，

得＝2p·，解得 p＝，

所以抛物线 C2的方程为 y2＝x.

答案　(1)C　(2)C

规律方法　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方

向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以

确定抛物线的标准方程.

2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，

特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

考点三　直线与抛物线的综合问题

【例 3】 (2019·武汉调研)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)和定点 M(0，1)，设过点 M的动直线交

抛物线 C于A，B两点，抛物线 C在A，B处的切线交点为 N.

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