高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十四讲 双曲线及其方程（原卷版）

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第二十四讲 双曲线及其方程
【考点剖析】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲
线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|
MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0：
(1)若a < c
时，则集合 P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合 P为两条射线；
(3)若a > c
时，则集合 P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性
质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx ∈ R ， y ≤ － a
或
y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1( － a ， 0) ， A 2( a ， 0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段
B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲
线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a 2
＋ b 2
【考点剖析】
考点一　双曲线的定义及应用
1
【例 1】 (1)已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在C上，|PF1|＝2|PF2|，
则cos ∠F1PF2＝(　　)
A. B. C. D.
(2)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切，
则动圆圆心 M的轨迹方程为____________.
解析　(1)由x2－y2＝2，知 a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|
PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.
(2)如图所示，设动圆 M与圆 C1及圆 C2分别外切于 A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
2
所以点 M到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点 M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与 C1的距离
小)，
其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.
故点 M的轨迹方程为 x2－＝1(x≤－1).
答案　(1)C　(2)x2－＝1(x≤－1)
规律方法　1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出
曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方
的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
考点二　双曲线的标准方程
【例 2】 (1)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1有公
共焦点，则 C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于
A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线
的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　(1)由题设知＝，①
3
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