高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十三讲 椭圆及其方程（解析版）

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第二十三讲 椭圆及其方程
【考点剖析】
1.椭圆的定义
平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两
定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c为常
数：
(1)若a ＞ c ，则集合 P为椭圆；
(2)若a ＝ c ，则集合 P为线段；
(3)若a ＜ c ，则集合 P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b
焦距 |F1F2|＝2 c
离心率 e＝∈(0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝a 2
－ b 2
【考点剖析】
考点一　椭圆的定义及其应用
【例 1】 (1)如图，圆 O的半径为定长 r，A是圆 O内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP
的垂直平分线 l和半径 OP 相交于点 Q，当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹是(　　)
1
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)设P为椭圆 C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆 C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点
G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)
A.24 B.12 C.8 D.6
解析　(1)连接 QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点 A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点 Q的轨迹是以 O，A为焦点，r为
长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆 C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点 G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为 8.
答案　(1)A　(2)C
规律方法　(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的
周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二　椭圆的标准方程
【例 2】 (1)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1内部且和圆 C1
相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析　(1)设圆 M的半径为 r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以 M的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以 a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一　当椭圆的焦点在 x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在 y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得
3
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