高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十讲空间向量的运用（原卷版）

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第二十讲空间向量的运用

【知识梳理】

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：给定一个定点 A和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A为起点作向量AP

＝ta，则此向量方程叫做直线 l的参数方程.向量 a称为该直线的方向向量.

(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l的方向向量 a，则向量 a叫做平面 α的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线 l1，l2的方向向量分

别为 n1，n2

l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0

直线 l的方向向量为 n，

平面 α的法向量为 m

l∥αn⊥m⇔n · m ＝ 0

l⊥αn∥m⇔n＝λm

平面 α，β的法向量分别

为n，m

α∥βn∥m⇔n＝λm

α⊥βn⊥m⇔n · m ＝ 0

3.异面直线所成的角

设

，

分别是两异面直线

，

的方向向量，则

a与b的夹角 β l1与l2所成的角 θ

范围 (0，π)

求法 cos β＝cos θ＝|cos β|＝

4.求直线与平面所成的角

设直线 l的方向向量为 a，平面 α的法向量为 n，直线 l与平面 α所成的角为 θ，则 sin θ＝|

cos 〈 a ， n 〉 | ＝.

5.求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β的两个面内与棱 l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝

__〈 AB ， CD 〉 .

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β的两个半平面 α，β的法向量，则二面角的大小 θ

满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与n2的夹角(或其补角).

6.点到平面的距离

用向量方法求点 B到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点 A，求向量AB到

法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面 α的法向量为 n，点 B到平

面α的距离 d＝.

【考点剖析】

考点一　利用空间向量证明平行问题

【例 1】如图，在四面体 ABCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD 的

中点，P是BM 的中点，点 Q在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.

证明：PQ∥平面 BCD.

【解析】证明　法一　如图，取 BD 的中点 O，以 O为原点，OD，OP 所在射线分别为 y，z

轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O－xyz.

由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).

设点 C的坐标为(x0，y0，0).

因为AQ＝3QC，

所以 Q.

因为 M为AD 的中点，故 M(0，，1).

又P为BM 的中点，故 P，

所以PQ＝.

又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0，0，1)，故PQ·a＝0.

又PQ⊄平面 BCD，

所以 PQ∥平面 BCD.

法二　在线段 CD 上取点 F，使得 DF＝3FC，连接 OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点

A，B，C的坐标，设点 C坐标为(x0，y0，0).

∵CF＝CD，设点 F坐标为(x，y，0)，则

(x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)，

∴∴OF＝

又由法一知PQ＝，

∴OF＝PQ，∴PQ∥OF.

又PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD，

∴PQ∥平面 BCD.

规律方法　(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和

垂直的关键.

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线

的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向

向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

考点二　利用空间向量证明垂直问题

【例 2】如图所示，已知四棱锥 P－ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝

BC＝PB＝PC＝2CD，侧面 PBC⊥底面 ABCD.证明：

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