高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十二讲 圆及其方程（解析版）

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第二十二讲 圆及其方程
【考点剖析】
1.圆的定义和圆的方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心 C(a，b)
半径为 r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D 2
＋ E 2
－ 4 F ＞ 0
圆心坐标：
半径 r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
【考点剖析】
考点一　圆的方程
【例 1】 (1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_
_______________.
(2)(一题多解)已知圆 C的圆心在直线 x＋y＝0上，圆 C与直线 x－y＝0相切，且在直线 x－y
－3＝0上截得的弦长为，则圆 C的方程为________.
【答案】(1)x2＋y2－2x＝0　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】　(1)法一　设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得 D＝－2，E＝0，F＝0，
故圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
法二　设O(0 ，0) ，A(1 ，1) ，B(2 ，0) ， 则 kOA ＝1，kAB ＝ － 1，所以 kOA·kAB ＝ － 1， 即
1
OA⊥AB，所以△OAB 是以角 A为直角的直角三角形，则线段 BO 是所求圆的直径，则圆心为
C(1，0)，半径 r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即 x2＋y2－2x＝0.
(2)法一　∵所求圆的圆心在直线 x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a).
又∵所求圆与直线 x－y＝0相切，
∴半径 r＝＝|a|.
又所求圆在直线 x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线 x－y－3＝0的距离 d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得 a＝1，
∴圆 C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线 x－y－3＝0的距离 d
＝，
∴r2＝＋，即 2r2＝(a－b－3)2＋3.①
由于所求圆与直线 x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②
又∵圆心在直线 x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆 C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法三　设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径 r＝，
2
∵圆心在直线 x＋y＝0上，∴－－＝0，即 D＋E＝0，①
又∵圆 C与直线 x－y＝0相切，
∴＝，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线 x－y－3＝0的距离 d＝，
由已知得 d2＋＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方
法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，
切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
3
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