高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二讲 常用逻辑用语（原卷版）

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第二讲 常用逻辑用语
【基础知识】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q 且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用
符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或
部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称命题和存在性命题(命题 p的否定记为 p，读作“非p”)
　名称
形式　　 全称命题 存在性命题
结构 对M中的所有 x，有 p(x)成立 存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成立
简记 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃ x 0∈ M ， p ( x 0)
否定 ∃x0∈M，p(x0)∀ x ∈ M ， p(x)
【考点剖析】
考点一　充分条件与必要条件的判断
【例题 1-1】有以下说法，其中正确的个数为（ ）
（1）“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
（2）“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
（3）“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【详解】
1
（1）由于“m是自然数” “⇒m是整数”，因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
（2）由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形
全等”的必要条件.
（3）由(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出 a=b，由 a=b，能推出|a|=|b|，故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必
要条件.
故选：D．
【例题 1-2】“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【详解】
因为当 a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.
所以“a+b是偶数”不能推出 “a和b都是偶数”，
显然“a和b都是偶数” “⇒a+b是偶数”.
所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.
故选：B
【例题 1-3】已知陈述句 α是β的必要非充分条件，集合 M={x|x满足 α}，集合 N={x|x满足 β}，则 M与N
之间的关系为（ ）
A．MNB．MNC．M=ND．
【答案】B
【详解】
α是β的必要非充分条件，
.
故选：B.
考点二　全称量词与存在量词　
【例题 2-1】将 a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（ ）
A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
2
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