高二年级数学精品课程（人教A版2019）第八讲 指数和指数函数（解析版）

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第八讲 指数与指数函数
【基础知识】
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当 n为奇数时，＝a，当 n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a＝(a>0，m，n∈N+，且 n>1)；正数的负分数指数幂
的意义是 a－＝(a>0，m，n∈N+，且 n>1)；0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有
意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝a r
＋
s
；(ar)s＝a rs
；(ab)r＝a r
b r
，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a>0 且a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，a
是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0 ，＋ ∞ )
性质
过定点(0 ， 1) ，即 x＝0时，y＝1
当x>0 时，y >1 ；
当x<0 时，0< y <1
当x<0 时，y >1 ；
当x>0 时，0< y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【考点剖析】
考点一　指数幂的运算
考点一　指数幂的运算
【例 1-1】 化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5； (2)(a>0，b>0).
1
【解析】　(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
【例 1-2】 化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0； (2)a·b－2·(－3a－b－1) ÷(4a·b－3).
解　(1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
考点二　指数函数的图象及应用
【例 2-1】若函数 f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数 b的取值范围是________.
解析　(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令 2x－＝0，得 x＝－1，
故函数 y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当 0<b<2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.
∴b的取值范围是(0，2).
【例 2-2】(1)函数 f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中 a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.0<a<1，b>0
D.0<a<1，b<0
2
【例 2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线 y＝b没有公共点，则 b的取值范围是________.
解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以 0<a<1.
函数 f(x)＝ax－b的图象是在 f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以 b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线 y＝b的图象如图所示.
由图象得|y|＝2x＋1与直线 y＝b没有公共点，则 b应满足的条件是 b∈[－1，1].
考点三　指数函数的性质及应用
【例 3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是(　　)
A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数 f(x)＝若 f(a)<1，则实数 a的取值范围是________.
【解析】(1)A 中，∵函数 y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较 1.250.1 与1.250.2 的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即 0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0 时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得 a>－3，所以－3<a<0.
当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上知，实数 a的取值范围是(－3，1).
答案　(1)B　(2)(－3，1)
【例 3－2】 (1)已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则 m的取值范围是___
3
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