福建省龙岩市2020-2021学年高三下学期第一次教学质量检测数学试题答案

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高三数学答案 第 1 页（共 7 页）
龙岩市 2021 年高中毕业班第一次教学质量检测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C D D C C A B A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
题号 9 10 11 12
选项 AD BC ABD CD
12．简解
A．若直线
l
过点
F Q
、
且与
y
轴垂直，可得
2
p
,当直线
l
过点
F Q
、
但不与
y
轴垂直时，
得不出
2
p
，故 A 错;
B ． 当 点
Q
在 抛 物 线 的 内 部 时 , 由 抛 物 线 的 定 义 得
1 2 2
P
PQ PF PQ PN P
 
(
N
为抛物线准线上的点); 当点
Q
在抛物
线的外部时,连接
FQ
, 2 2
( 1) 1 2
2
P
PQ PF QF
 
,得
2 2 3
P  ,故 B 错
C ． 由条件知直线
l
的斜率存在，设其方程为
2
p
y kx
 
与2
2
x py
联立消去
y
得
2 2
2 0,
x pkx p
 
设
1 1 2 2
( , ), ( , )
A x y B x y
,
2 2
21 2
1 2 1 2 2
( )
1
, , ,
4 4 4
OA OB
x x p
x x p y y k k
p
   
则故 C 正确;
D．设
1 1 2 2
( , ), ( , )
A x y B x y
,由 2
2
x py
得'
1 2
2
1 1
, 1
y x x x
p p
 
,
2
1 2
x x p
 
,
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
( ) ( ) ,
2 2
y y x x x x p
p p
 
所以当 1 2
0
x x
 
时,
1 2
y y
取得最小值
4
p
 
,从而求得 1 2 1 2
, 4, 2
x y y
 
,1
8 1 4
2
ABQ
S
  
,故 D
正确.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．1 ； 14. 337 ； 15.
3
( ,0)
， 3 ；（第一空 2分，第二空 3分） 16. 3
2
a
高三数学答案 第 2 页（共 7 页）
16．解：动点
P
的轨迹是以
A
为球心，半径为
2
a
的球与平面
A B C D
  
，平面
DCC D
 
，平面
CBB C
 
的交线，这三条
弧长之和为 3
2
a
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（本题满分 10 分）
解：（1）选条件①，由正弦定理
C
c
B
b
sin
sin
及CbBc cos3sin 得
sin sin 3 sin cos ,
C B B C
…………………1分
0 , sin 0,
B B
 
………………………2分
sin 3 cos
C C
  ……………………………3分
tan 3,
C 
0 ,
C
 
…………………………4分
3
C
 
……………………………5分
选条件②，由 CCC 2
cos2)2
2
3
sin(cos2
得
，
CCC 2
cos22coscos2 ……………………………2分
2
1
coscos21cos2cos2 22 CCCC ， ……………………………4分
3
,0
CC
…………………………………5分
选条件③ CabCCabinCCBCAS ABC sin
2
1
sincoss
……………2 分
sin 0,
C
3
,0,
2
1
cos
CCC …………………………5 分
（2）法 1：由（1）知
3
C，又 2
c
设ABC
的外接圆的半径为 R,则 3
34
3
sin
2
sin
2
C
c
R, ………………6 分
所以 ABC
的周长 2)]
3
2
sin([sin
3
34
2)sin(sin2 AABARL
2
6
sin4 ）（
A …………………………………8分
,
3
2
0
A
1)
6
sin(
2
1
,
6
5
6
6
AA ……………………9 分
(4,6]
L  . ……………………………………10 分
B'
A
A'
D'
C'
C
D
B
高三数学答案 第 3 页（共 7 页）
法 2：由（1）知
3
C，又 2
c
由余弦定理得
Cabbac cos2
222
2
1
2
22 abba 2 2
a b ab
 
…………………6 分
2 2 2 2
3 1
4 ( ) 3 ( ) ( ) ( )
4 4
a b ab a b a b a b
    ……………………7 分
2
( ) 16, 4, , 2 4
a b a b a b c a b
    
又
（当且仅当
2
a b
 
时取等号） …………………………9 分
4 6
l
 
,所以 ABC
的周长的取值范围为
(4,6]
.…………………………10 分
18．（本题满分 12 分）
解：（1）
2 2
n n
S a
 
，
2
n
时， 1 1
2 2
n n
S a
 
 
………2 分
两式相减得
1
2 2
n n n
a a a
  ，又各项均为正数，即
1
2
n
n
a
a
，…………………4 分
又1 1
2 2
S a
 
，则 1
2
a
， …………………………………5 分
所以
2
n
n
a
………………………………6 分
（2） 2 1
log ( 1) 2
n
n n n
b a a n
   
， ………………………………7 分
2 3
2 2 3 2 4 2 ( 1) 2
n
n
T n
 
①
2 3 4 1
2 2 2 3 2 4 2 ( 1) 2
n
n
T n
    
②
①-②
得
2 1 1 1
2(1 2 )
- 2 2+2 + +2 ( 1)2 2 ( 1)2 2
1 2
n
n n n n
n
T n n n
 
   
 
………………………9 分
1
2
n
n
T n
 
……………………………………………10 分
因+2 1 1
1
+ 2 ( 2) 2 0
n n n
n n
T T n n n
 
     
（ 1）2 ， ……………………11 分
所以 1
n n
T T
，即
n
T
单调递增，所以 1
4
k T
 
……………………………12 分
19．（本题满分 12 分）
解:（1）列联表补充如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男
44
12
56
女
36
8
44
合计
80
20
100
……………………………1 分
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