第八章立体几何专题训练（十四）—大题综合练习（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练
第八章 立体几何专练（十四）—大题综合练习（1）
1．如图，长方体 中， ， ，点 为 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
（1）证明：设 和 交于点 ，则 为 的中点．
连结 ，又因为 是 的中点，所以 ．
又因为 平面 ， 平面
所以直线 平面 ．
（2）解：由（1）知， ，所以 即为异面直线 与 所成的角．
因为 ， 且 ，
所以 ．
又 ， ，所以
故异面直线 与 所成角的大小为 ．
1
2．如图，已知三棱锥 为正三棱锥，设其底面 的边长为 ，侧棱长为 ．
（1）设底边 的中点为 ，若 ，求异面直线 与 所成角的大小；
（2）设过底边 的截面交侧棱 于点 ，若 ，求截面 面积的最小值．
解：（1）取 的中点为 ，连结 ， ，
在等边 中， ， ，
所以 为异面直线 与 所成的角，
在等边 中， ，
在等边 中， ，
在 中，由余弦定理可知， ，
故异面直线 与 所成角的大小为 ；
（2） ， ，
2
所以 ，
所以 ，设 ，
在等腰 中， ， ，
当 时， 取得最小值，由等面积法 ，
解得 ，又 ，
所以 ，
则等腰 中， ， ，
所以截面 的面积 的最小值为 ，当且仅当 时取到等号．
3．空间四边形 中， ，点 、 分别为对角线 、 的中点．
（1）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小；
（2）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小．
解：取 的中点为 ，连结 ， ，
因为点 ， 分别为对角线 ， 的中点，
3
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