第八章立体几何专题训练（十三）—计算体积（大题）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专练（十三）—计算体积（大题）
1． 如 图 ， 在 多 面 体 中 ， 四 边 形 是 边 长 为 2的 菱 形 ， ，
， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求多面体 的体积．
解：（Ⅰ）证明：设 与 交于 ，连接 ，
由于 ，可得 ，
由四边形 为菱形，可得 ，
由于 ，可得平面四边形 ，
而 ， 为平面 内的两条相交直线，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ；
（Ⅱ）由 ， ，可得 ， ，
由 ， ，
可得 ，
由 ，可得 ，可得 为梯形 的高，
又 ，
所以梯形 的面积为 ，
1
由 平面 ，
可得多面体 的体积为 ．
2．如图，已知四棱柱 的底面为菱形， ， ， 为
上一点，过 和点 的平面分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ， ， ，求四棱锥 的体积．
（1）证明： 四边形 为菱形， ．
又 ， ， ．
又 ， 平面 ．
平面 ，平面 平面 ， ．
， ， 平面 ， 平面 平面 ．
2
（2）解： ， ．
在△ 中，过点 作 交 于点 ．
， ．
由（1）知平面 平面 ．
， 平面 ．
又 平面 ， 由等体积法得：
．
3．如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，点 为边 的中点．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求三棱柱 的体积．
3
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