第八章立体几何专题训练（十二）—异面直线所成的角（大题）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专练（十二）—异面直线所成的角（大
题）
1．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 ，
， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
证明：（Ⅰ）在菱形 中，有 ，由 平面 ， 平面 ，
，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
解：（Ⅱ）作 交 于点 ，连接 ， ， ，设 ，
由 ， 为 的中点， ，且 为 的中点．
又 ， ，则 ，
由（Ⅰ）可知： 平面 ，而
平面 ，
直线 与平面 所成角为
又 ，
1
故直线 与平面 所成角的正弦值 ．
2．已知三棱柱 中， 平面 ， ， ，
为 中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，
为 的中点，
，
又 平面 ， 平面 ，
直线 平面 ．
2
（2）解：由（1）知， ，
或其补角为直线 与 所成角，
平面 ， 平面 ，
，
等边 ，且 为 的中点， ，
又 ， 、 平面 ，
平面 ，
，
，
在 中， ，
由余弦定理知， ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
3．如图，在直三棱柱 中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面 是边长为
4的正三角形，侧棱长为 3， ， 分别为棱 和 的中点．
（1）试判断直线 和 的位置关系，并说明理由；
3
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