第八章立体几何专题训练（十）—证明平行、垂直（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专题训练（十）—证明平行、垂直（1）
1．如图．在直四棱柱 中，
E
，
F
分别
AB
，
BC
的中点，
1 1
A C
与
1 1
B D
交
于点
O
．
（1）求证：
1
A
，
1
C
，
F
，
E
四点共面；
（2）若底面
ABCD
是菱形，且
，求证：
OD
平面
1 1
A C FE
．
解：（1）连接
AC
，因为
E
，
F
分别是
AB
，
BC
的中点，所以
EF
是
ABC
的中位线，
所以
/ /EF AC
，
由直棱柱知：
/ /
1 1
AA CC
，所以四边形
1 1
AA C C
为平行四边形，所以
1 1
/ /AC A C
，
5
分
所以
1 1
/ /EF A C
，
故
1
A
，
1
C
，
F
，
E
四点共面；
7
分，
（2）连接
BD
，因为直棱柱中
1
DD
平面
1 1 1 1
A B C D
，
1 1
A C
平面
1 1 1 1
A B C D
，
所以
1 1 1
DD A C
，
因为底面
1 1 1 1
A B C D
是菱形，所以
1 1 1 1
A C B D
，
又
1 1 1 1
DD B D D
，所以
1 1
A C
平面
1 1
BB DD
，
11
分
因为
OD
平面
1 1
BB DD
，
所以
1 1
OD A C
，
1
又
1
OD A E
，
1 1 1 1
A C A E A
，
1 1
A C
平面
1 1
A C FE
，
1
A E
平面
1 1
A C FE
，
所以
OD
平面
1 1
14A C FE
分
2．如图，在四棱锥
P ABCD
中，
2 2 3AB CD 
，
2PD
，
7PC
，
/ /CD AB
，
PD BC
，
E
，
F
分别为棱
AB
，
PB
的中点．
（1）证明：
PD
平面
ABCD
．
（2）证明：平面
/ /PAD
平面
CEF
．
证明：（1）因为
3CD
，
2PD
，
7PC
，所以
2 2 2
CD PD PC 
，
所以
PD DC
．
因为
PD BC
，
DC BC C
，所以
PD
平面
ABCD
．
（2）因为
E
为棱
AB
的中点，所以
1
2
AE AB
．
因为
2AB CD
，所以
AE CD
，
因为
/ /CD AB
，所以
/ /AE CD
，
所以四边形
AECD
为平行四边形，所以
/ /CE AD
，所以
/ /CE
平面
PAD
．
因为
E
，
F
分别为棱
AB
，
PB
的中点，所以
/ /EF PA
，所以
/ /EF
平面
PAD
．
2
因为
CE EF E
，
CE
平面
CEF
，
EF
平面
CEF
，
所以平面
/ /PAD
平面
CEF
．
3．如图，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中 ，
D
为 棱
BC
的中点，
AB BC
，
1
BC BB
，
1
1AB A B 
，
1
2BB
．
（1）证明：
1
/ /A B
平面
1
AC D
；
（2）证明：
1
A B
平面
ABC
．
证明：（1）连接
1
A C
交
1
AC
，与点
E
，连接
DE
，在△
1
A BC
中，
D
、
E
分别为
BC
、
1
A C
的中点，
所以
1
/ /DE A B
，
又
1
A B
平面
1
AC D
．
DE
平面
1
AC D
．
3
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