第八章立体几何专题训练（七）—探索性问题（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专题训练（七）—探索性问题（1）
1．如图所示的几何体由平面 截棱长为 2的正方体得到，其中 、 为原正方体的顶
点， 、 、 为原正方体侧棱的中点，正方形 为原正方体的底面．
（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使三棱锥 的体积恰为几何体 的体积
的 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
（1）证明：几何体由棱长为 2的正方体截得，
、 为原正方体侧棱的中点，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
面 ， 面 ，
平面 ．
（2）解：在棱 上存在点 ，当 时，可使三棱锥 的体积恰为几何体
的体积的 ，
几何体 的体积为 ，
由正方体的性质可知点 到面 的距离等于点 到面 的距离，设 ，
则 ，
1
，解得： ，
即 ，
在 棱 上 存 在 点 ， 当 时 ， 可 使 三 棱 锥 的 体 积 恰 为 几 何 体
的体积的 ．
2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， 分别为 ， ，
的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）记平面 与底面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并证
明．
解：（1）证明： 底面 是菱形， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
， ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）直线 与平面 平行，证明如下：
连接 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
，
平面 ， 平面 ，
2
平面 ，
平面 与底面 的交线为 ， 由线面平行的性质得 ，
， ，
， ，且 平面 ， 平面 ，
平面 ．
3．在四棱锥 中， ， ．
（1）若点 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，请求出 ，若不存在，
请说明理由．
（1）证明：取 的中点为 ，连接 ， ，
由 为等边三角形，可得 ，
因为 ， ，
所以 ，
，即 ，
3
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