第八章立体几何专题训练（九）—探索性问题（3）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专题训练（九）—探索性问题（3）
1．已知在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为矩形， ，
， 为棱 上一点，且 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求
出 的值；若不存在，说明理由．
（1）证明：在矩形 中， ， ， ，
，即 ，
平面 ， 平面 ，
，
又 ， 、 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ．
（2）解：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
1
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ，
设 ， ， ，则 ，0， ，
，0， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ， ， ，
直线 与平面 所成的角为 ，
，即 ，化简得 ，
解得 ，
， ， ，
．
2．如图，四棱锥 中， 矩形 ，其中 ， ， ，点
为矩形 的边 上一动点．
（1） 为线段 上一点， ，是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，
请求出 的长，若不存在，请说明理由；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
2
解：（1）存在点 满足 平面 ，此时
证明如下：
在线段 上取一点 ，使得 ，
因为 ， ，所以 且 ，
又因为 且 ，
所以 且 ，
故四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
设 ，因为 ，解得 ，即 为 的中点，
以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
3
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